Question

6．已知拋物線x²=2py上點P處的切線方程為x-y-1=0．
（1）求拋物線的方程；
（2）設A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）為拋物線上的兩個動點，其中y₁=y₂且y₁+y₂=4，線段AB的垂直平分線l與y軸交于點C，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）x-y-1=0，可得y=x-1，代入x²=2py，可得x²-2px+2p=0，利用△=0，求出p，即可求拋物線的方程；
（2）設線段AB的中點為M（x₀，y₀），求出線段AB的垂直平分線的方程，直線AB的方程代入拋物線方程，利用韋達定理，進而可得S_△ABC，利用換元法，構造函數(shù)，利用導數(shù)知識，即可求得結論．

解答 解：（1）由x-y-1=0，可得y=x-1，
代入x²=2py，可得x²-2px+2p=0，
∵拋物線x²=2py上點P處的切線方程為x-y-1=0，
∴△=4p²-8p=0，
∴p=2，
∴拋物線的方程x²=4y；
（2）設線段AB的中點為M（x₀，y₀），則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀=2，∴k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$x₀，
∴線段AB的垂直平分線的方程為y-2=-$\frac{2}{{x}_{0}}$（x-x₀）．
令x=0，得y=4，故C（0，4）為定點．
又直線AB的方程為y-2=$\frac{1}{2}$x₀（x-x₀），與x²=4y聯(lián)立，消去y得x²-2x₀x+2x₀²-8=0．
由韋達定理得x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=2x₀²-8．
直線AB的方程令x=0，得y=2-$\frac{1}{2}$x₀²，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$|2-$\frac{1}{2}$x₀²-4|•$\sqrt{32-4{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{（4+{{x}_{0}}^{2}）^{2}（8-{{x}_{0}}^{2}）}$
令t=4+x₀²（12＞t＞4），則8-x₀²=12-t
設f（t）=t²（12-t）=-t³+12t²，∴f′（t）=-3t（t-8）
當4＜t＜8時，f′（t）＞0；當12＞t＞8時，f′（t）＜0．
∴f（t）在（4，8）上單調遞增，在（8，12）上單調遞減．
∴當t=8時，[f（t）]_max=8²×4．故△ABC面積的最大值為8．

點評 本題考查拋物線的定義，考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查三角形面積的計算及最值的求解，屬于中檔題．