Question

1．二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1，
（1）求f（x）的解析式；
（2）方程f（x）=$\frac{1}{2}$x+1+k 在（-1，1）上有實根，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）二次函數(shù)滿足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1，設其方程為y=ax²+bx+1，代入f（x+1）-f（x）=2x，整理后利用同一性求出系數(shù)，
（2）根據(jù)一元二次方程的根的分布規(guī)律即可解答．

解答 解：（1）由題意，設其方程為y=ax²+bx+1代入f（x+1）-f（x）=2x恒成立，整理得2ax+a+b=2x恒成立，
$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$
故f（x）=x²-x+1；
（2）①方程$f（x）=\frac{1}{2}x+1+k$在（-1，1）上有兩實根，
則$\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{f（1）＞0}\\{f（-1）＞0}\\{-1＜-\frac{2a}＜1}\end{array}\right.$⇒-$\frac{9}{16}$≤k≤$-\frac{1}{2}$；
②方程$f（x）=\frac{1}{2}x+1+k$在（-1，1）上有一實根，
則f（1）-f（-1）＜0或$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=0}\\{f（-1）＞0}\end{array}\right.$得-$\frac{1}{2}$≤k≤$\frac{5}{2}$
綜上；k∈[-$\frac{9}{16}$，$\frac{5}{2}$）．

點評 本題考查函數(shù)解析式的求解及常用方法，解題的關鍵是了解二次函數(shù)的解析式的結構利用待定系數(shù)法設出解析式，再代入所給的條件求出參數(shù)．