Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{aelnx}{x}$，g（x）=-$\frac{1}{2}$x+a+e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R且a≠0）．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線過點(diǎn)（0，-2e），求a的值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-g（x）=0在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，+∞）上有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線過點(diǎn)（0，-2e），建立方程，即可求a的值；
（2）令h（x）=x（f（x）-g（x））=$\frac{1}{2}{x}^{2}-（a+e）x+aelnx$，則方程f（x）-g（x）=0在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，+∞）上有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)h（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，+∞）上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{aelnx}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{ae（1-lnx）}{{x}^{2}}$，
∴f′（1）=ae，
∵f（1）=0，
∴ae=$\frac{0-（-2e）}{1-0}$=2e，
∴a=2；
（2）令h（x）=x（f（x）-g（x））=$\frac{1}{2}{x}^{2}-（a+e）x+aelnx$，則方程f（x）-g（x）=0在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，+∞）上有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)h（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，+∞）上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，
由h（x）=x（f（x）-g（x））=$\frac{1}{2}{x}^{2}-（a+e）x+aelnx$，可得h′（x）=$\frac{（x-a）（x-e）}{x}$．
①a≤$\frac{1}{e}$，由h′（x）＞0，可得x＞e，函數(shù)單調(diào)遞增，h′（x）＜0，可得$\frac{1}{e}$＜x＜e，函數(shù)單調(diào)遞減，
∵h(yuǎn)（e）=-$\frac{1}{2}{e}^{2}$＜0，h（e²）=$\frac{1}{2}e（e-2）（{e}^{2}-2a）$≥$\frac{1}{2}e（e-2）（{e}^{2}-\frac{2}{e}）$＞0，
∴要使得h（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，+∞）上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，
只需要$h（\frac{1}{e}）=\frac{（1-2{e}^{2}）-2e（1+{e}^{2}）a}{2{e}^{2}}$≥0，
∴a≤$\frac{1-2{e}^{2}}{2e（1+{e}^{2}）}$；
②$\frac{1}{e}$＜a＜e，由h′（x）＞0，可得$\frac{1}{e}$＜x＜a或x＞e，函數(shù)單調(diào)遞增，h′（x）＜0，可得a＜x＜e，函數(shù)單調(diào)遞減，
∵h(yuǎn)（a）=-$\frac{1}{2}{a}^{2}$＜0，h（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，+∞）上至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
③a＞e，由h′（x）＞0，可得$\frac{1}{e}$＜x＜e或x＞a，函數(shù)單調(diào)遞增，h′（x）＜0，可得e＜x＜a，函數(shù)單調(diào)遞減，
∵h(yuǎn)（e）=-$\frac{1}{2}{e}^{2}$＜0，
∴h（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，+∞）上至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
④a=e，h′（x）≥0，函數(shù)單調(diào)遞增，h（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，+∞）上至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
綜上所述，a≤$\frac{1-2{e}^{2}}{2e（1+{e}^{2}）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．