Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=log₂x．
（1）設(shè)函數(shù)g（x）=f（2^x+1）+kx，若函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的值；
（2）在（1）條件下，h（x）為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且x＞0時(shí)，h（x）=2${\;}^{g（x）+\frac{1}{2}x}$-1．
（i）求h（x）的解析式；
（ii）若對任意的t∈[-1，1]，h（x²+tx）≥$\frac{{h}^{3}（x）}{|h（x）|}$恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇偶性的性質(zhì)求解
（2）根據(jù)定義域進(jìn)行分段，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，把對數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題求解．

解答 解：（1）由：函數(shù)f（x）=，
∴g（x）=f（2^x+1）+kx=log₂（2^x+1）+kx=
又∵g（x）為偶函數(shù)，
則有：g（-x）=g（x），即log₂（2^-x+1）-kx=log₂（2^x+1）+kx
整理得：（2k+1）x=0，
解得：k=-$\frac{1}{2}$．
則：g（x）=log₂（2^x+1）$-\frac{1}{2}$x．
（2）h（x）為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且x＞0時(shí)，h（x）=2${\;}^{g（x）+\frac{1}{2}x}$-1．
（i）當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）=2^x．
那么：x＜0時(shí)，-x＞0，則有：h（-x）=2^-x
又h（x）是奇函數(shù)，∴h（x）=-2^-x
當(dāng)x=0時(shí)，h（x）=0．
所以：h（x）的解析式為$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，（x＞0）}\\{0，（x=0）}\\{-{2}^{-x}，（x＜0）}\end{array}\right.$；
（ii）∵$\frac{{h}^{3}（x）}{|h（x）|}$=h（2x），且x≠0，
那么：h（x²+tx）≥$\frac{{h}^{3}（x）}{|h（x）|}$轉(zhuǎn)化為：h（x²+tx）≥h（2x）
由題意，可知：h（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，
可得：x²+tx≥2x，t∈[-1，1]，
當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-2x≥0}\\{{x}^{2}-x-2x≥0}\\{x≠0}\end{array}\right.$
解得：x＜0或x≥3
故x∈（-∞，0）∪[3，+∞）

點(diǎn)評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)與奇偶性的綜合運(yùn)用能力和化簡的能力．屬于中檔題．