Question

10．若（$\sqrt{{2}^{{x}^{2}}}$+$\root{5}{{2}^{-2x}}$）ⁿ展開式的二項(xiàng)式系數(shù)中第二、第三、第四項(xiàng)的系數(shù)成一個(gè)等差數(shù)列，且展開式第六項(xiàng)是21，求x．

Answer 1

分析 由題意得2${C}_{n}^{2}$=${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{3}$，解方程得n的值，再利用二項(xiàng)式展開式中的通項(xiàng)公式求出第6項(xiàng)，列方程求出x的值．

解答 解：由題意得 2${C}_{n}^{2}$=${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{3}$，
解得n=7；
在（$\sqrt{{2}^{{x}^{2}}}$+$\root{5}{{2}^{-2x}}$）ⁿ=${（\sqrt{{2}^{{x}^{2}}}+\root{5}{{2}^{-2x}}）}^{7}$的展開式中，
其通項(xiàng)公式為：
T_r+1=${C}_{7}^{r}$•${2}^{{x}^{2}•\frac{7-r}{2}}$•${2}^{-\frac{2xr}{5}}$=${C}_{7}^{r}$•${2}^{{x}^{2}•\frac{7-r}{2}-\frac{2xr}{5}}$，
故第6項(xiàng)為${C}_{7}^{5}$•${2}^{{x}^{2}-2x}$=21，
∴x²-2x=0，
解得x=0或x=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求某項(xiàng)的系數(shù)，是基礎(chǔ)題目．