Question

16．已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左，右焦點，A，B分別為橢圓的上，下頂點．過橢圓的右焦點F₂的直線在y軸右側(cè)交橢圓于C，D兩點．△F₁CD的周長為8，且直線AC，BC的斜率之積為$-\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設四邊形ABCD的面積為S，求S的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），求出A（0，b），B（0，-b），4a=8，a=2，由直線AC，BC的斜率之積為$-\frac{1}{4}$．求出b，即可求解橢圓方程．
（Ⅱ）設直線$CD：x=my+\sqrt{3}$，代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，利用韋達定理，以及弦長公式，求解三角形的面積，得到表達式，然后求解范圍．

解答 解：（Ⅰ）設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由題意得A（0，b），B（0，-b），4a=8，a=2（2分）
由${k_{AC}}•{k_{BC}}=\frac{{{y_1}-b}}{x_1}×\frac{{{y_1}+b}}{x_1}=\frac{{y_1^2-{b^2}}}{x_1^2}=-\frac{b^2}{a^2}=-\frac{1}{4}$，
得${b^2}=\frac{1}{4}{a^2}=1$（5分），
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，${F_2}（\sqrt{3}，0）$，故設直線$CD：x=my+\sqrt{3}$，

代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$得$（{m^2}+4）{y^2}+2\sqrt{3}my-1=0$，
則${y_1}+{y_2}=\frac{{-2\sqrt{3}m}}{{{m^2}+4}}，{y_1}{y_2}=\frac{-1}{{{m^2}+4}}$（7分），
$|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{{4\sqrt{{m^2}+1}}}{{{m^2}+4}}$，由x₁＞0，x₂＞0，得0≤m²＜3，
${x_1}+{x_2}=m（{y_1}+{y_2}）+2\sqrt{3}=\frac{{8\sqrt{3}}}{{{m^2}+4}}$（10分）
∴面積S=S_△AOD+S_△BOC+S_△OCD=$\frac{1}{2}$×$\frac{{8\sqrt{3}}}{{{m^2}+4}}+\frac{1}{2}×\sqrt{3}×$$\frac{{4\sqrt{{m^2}+1}}}{{{m^2}+4}}$=$\frac{{2\sqrt{3}（\sqrt{{m^2}+1}+2）}}{{{m^2}+4}}$（12分）
令$t=\sqrt{{m^2}+1}+2，t∈[3，4）$，
則$S=\frac{{2\sqrt{3}t}}{{{{（t-2）}^2}+3}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{t+\frac{7}{t}-4}}$在t∈[3，4）上遞減
所以$S∈（\frac{{8\sqrt{3}}}{7}，\frac{{3\sqrt{3}}}{2}]$．（15分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系的綜合應用，三角形的面積的求法，考查計算能力．