Question

9．設(shè)向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a}|=1，|{\overrightarrow b}|=\sqrt{2}$$，\overrightarrow a⊥（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為（　�。�

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），得數(shù)量積為0，列出方程求出向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角．

解答 解：∵向量|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，且$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），
設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，則有$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=0，
即${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1²+1×$\sqrt{2}$×cosθ=0，
cosθ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又0≤θ≤π，
∴θ=$\frac{3π}{4}$，
∴$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{3π}{4}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義與兩個(gè)向量垂直性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．