Question

17．已知直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=4{t^2}\\ y=4t\end{array}$（t為參數(shù)），頂點(diǎn)為O．
（1）求直線的傾斜角和斜率；
（2）證明直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)；
（3）設(shè)（2）中的交點(diǎn)為A，B，求三角形AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）將將直線l的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成普通方程：y=x-1，即可求得直線的傾斜角和斜率；
（2）求得曲線C的一般方程，將直線方程代入曲線C，消去x，求得關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)△＞0，即可證明直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)；
（3）分別求得A和B的縱坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的性質(zhì)即三角形的面積公式即可求得三角形AOB的面積．

解答 解：（1）將直線l的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成普通方程：y=x-1，
直線的傾斜角為45°，斜率為1；…（4分）
（2）證明：將曲線c的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=4{t^2}\\ y=4t\end{array}\right.（t為參數(shù)）$中的參數(shù)t消去得
曲線c的一般方程是：y²=4x，…（5分）
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}y=x-1\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去x得：y²-4y-4=0①…（6分）
△=（-4）²-4×1×（-4）=32＞0∴方程①有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∴直線l與曲線c相交于兩點(diǎn)．　　　…（8分）
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（2）可得，${y_1}=2+2\sqrt{2}$，${y_2}=2-2\sqrt{2}$，
由拋物線的圖象知，直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F（1，0），…（10分）
∴${S_{△AOB}}={S_{△AOF}}+{S_{△BOF}}=\frac{1}{2}×1×|{y_1}-{y_2}|=2\sqrt{2}$
∵△AOB的面積為$2\sqrt{2}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程與普通方程得轉(zhuǎn)換，直線與拋物線的位置關(guān)系即拋物線的基本性質(zhì)，考查綜合分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．