Question

9．如圖為了立一塊廣告牌，要制造一個三角形的支架   三角形支架形狀如圖，要求∠ACB=60°，BC的長度大于1米，且AC比AB長0.5米，為了廣告牌穩(wěn)固，要求AC的長度越短越好，則AC最短為2+$\sqrt{3}$米．

Answer 1

分析 設(shè)BC的長度為x米，AC的長度為y米，依據(jù)題意可表示出AB的長度，然后代入到余弦定理中求得x和y的關(guān)系式，利用基本不等式求得y的最小值，并求得取等號時x的值．

解答 解：設(shè)BC的長度為x米，AC的長度為y米，則AB的長度
為（y-0.5）米，
在△ABC中，依余弦定理得：AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB
即（y-0.5）²=y²+x²-2yx×$\frac{1}{2}$，化簡，得y（x-1）=x²-$\frac{1}{4}$，
∵x＞1，
∴2-1＞0
因此y=$\frac{{x}^{2}-\frac{1}{4}}{x-1}$，
y=（x-1）+$\frac{3}{4（x-1）}$+2≥$\sqrt{3}$+2
當(dāng)且僅當(dāng)x-1=$\frac{3}{4（x-1）}$時，取“=”號，
即x=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，y有最小值2+$\sqrt{3}$．
故答案為：2+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用以及基本不等式求最值問題．考查了考生利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的能力．