Question

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列中，對(duì)一切，有，且，，.

（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式.

（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.

 

Answer 1

（1），；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由，即可判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，繼而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

又對(duì)一切 ，則當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，則，此兩項(xiàng)相減得，所以數(shù)列

為等差數(shù)列，由，求出公差，繼而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）由（1）知數(shù)列的通項(xiàng)公式，使用錯(cuò)位相減法即可求出.

試題解析：（1） 時(shí)

當(dāng)時(shí)，

是以，的等比數(shù)列

通項(xiàng)公式為： 即：

又對(duì)一切 ①

當(dāng)時(shí) ②

①—②得

化簡(jiǎn)為

用換上式中n得：

兩式相減整理得：即

數(shù)列為等差數(shù)列（當(dāng)時(shí)） 又

數(shù)列（成等差數(shù)列）

（2）由（1）得，由

有：

所以

兩式相減

化簡(jiǎn)

考點(diǎn)：等差數(shù)列及等比數(shù)列的判定及其通項(xiàng)公式；數(shù)列求和.