Question

17．已知方程a-x²=-2lnx在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上有解（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． [1，$\frac{1}{{e}^{2}}$+2]
• B． [1，e²-2]
• C． [$\frac{1}{{e}^{2}}$+2，e²-2]
• D． [e²-2，+∞）

Answer 1

分析 轉(zhuǎn)化方程為a的表達(dá)式．通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的值域，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：方程a-x²=-2lnx化為a=-2lnx+x²，由f（x）=-2lnx+x²，可得f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$，
2x-$\frac{2}{x}$=0解得：x=1，x∈（$\frac{1}{e}$，1），f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)，x∈（1，e），f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)，
區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上的最小值為：f（1）=1，f（e）=e²-2，f（$\frac{1}{e}$）=2+$\frac{1}{{e}^{2}}$，∴f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上的最小值為：1．
最大值為：e²-2．
故a=2lnx-x²在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上有實(shí)根，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，e²-2]．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值、函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵，屬于中檔題．