Question

11．定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）-f（y）=f（$\frac{x-y}{1-xy}$），當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，有f（x）＞0，且f（-$\frac{1}{2}$）=1．設(shè)m=f（$\frac{1}{5}$）+f（$\frac{1}{11}$）+…+f（$\frac{1}{{n}^{2}+n-1}$）n≥2，n∈N^*，則實(shí)數(shù)m與-1的大小關(guān)系是m＞-1．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)可得f（x）在（-1，1）為奇函數(shù)，單調(diào)減函數(shù)且在（-1，0）時(shí)，f（x）＞0，從而可得f（$\frac{1}{2}$）=-1，且f（$\frac{1}{{n}^{2}+n-1}$）=f（$\frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n}\frac{1}{n+1}}$）=f（$\frac{1}{n}$）-f（$\frac{1}{n+1}$），從而利用裂項(xiàng)求和法求得．

解答 解：∵函數(shù)f（x）滿足$f（x）-f（y）=f（\frac{x-y}{1-xy}）$，
令x=y=0得f（0）=0；
令x=0得-f（y）=f（-y）．
∴f（x）在（-1，1）為奇函數(shù)，單調(diào)減函數(shù)且在（-1，0）時(shí)，f（x）＞0，
則在（0，1）時(shí)f（x）＜0．又f（$\frac{1}{2}$）=-1，
∵f（$\frac{1}{{n}^{2}+n-1}$）=f（$\frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n}\frac{1}{n+1}}$）
=f（$\frac{1}{n}$）-f（$\frac{1}{n+1}$），
∴m=f（$\frac{1}{5}$）+f（$\frac{1}{11}$）+…+f（$\frac{1}{{n}^{2}+n-1}$）
=[f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{1}{3}$）]+[f（$\frac{1}{3}$）-f（$\frac{1}{4}$）]+…+[f（$\frac{1}{n}$）-f（$\frac{1}{n+1}$）]
=f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{1}{n+1}$）=-1-f（$\frac{1}{n+1}$）＞-1，
故答案為：m＞-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生的化簡(jiǎn)運(yùn)算能力及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力．