Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

a+1

x

-1（a＞-1）．
（Ⅰ）當(dāng)a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[e，+∞）時，有x•f（x）≥2a恒成立（e=2.71828…），求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出a=0的f（x）的解析式，注意x＞0，求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[e，+∞）時，有x•f（x）≥2a恒成立，即a≤xlnx-x+1在[e，+∞）恒成立．構(gòu)造函數(shù)g（x）=xlnx-x+1，運用導(dǎo)數(shù)判斷g（x）的單調(diào)性，求出最小值，即可得到a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=0，f（x）=lnx+

1

x

-1（x＞0），
f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，則f（x）在（1，+∞）上遞增；
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，則f（x）在（0，1）上遞減．
綜上可得f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[e，+∞）時，有x•f（x）≥2a恒成立，
即為2a≤x（lnx+

a+1

x

-1）=xlnx-x+a+1，
即a≤xlnx-x+1在[e，+∞）恒成立．
令g（x）=xlnx-x+1，
g′（x）=lnx+x•

1

x

-1=lnx，
當(dāng)x∈[e，+∞）時，g′（x）≥1＞0，
即g（x）在[e，+∞）遞增，
則g（x）的最小值為g（e）=elne-e+1=1．
即有a≤1．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間、求極值和最值，考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，考查運算能力，屬于中檔題．