Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，當(dāng)時，對任意，存在，使，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析.

(2).

【解析】分析：（1）先求一階導(dǎo)函數(shù)的根，求解或的解集，寫出單調(diào)區(qū)間。

（2）當(dāng)時，求出的最小值，存在，使的最小值，

再分離變量構(gòu)建函數(shù)，解。

詳解：（1）的定義域為，

又，

令，得或.

當(dāng)，則，由得，由得，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

當(dāng)，則，由得，

由得或，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.

當(dāng)，則，可得，

此時函數(shù)在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時，則，由得，

由得或，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)時，由（1）得函數(shù)在上單調(diào)遞減，

在和上單調(diào)遞增，

從而在上的最小值為.

對任意，存在，使，

即存在，函數(shù)值不超過在區(qū)間上的最小值.

由得，.

記，則當(dāng)時，.

，當(dāng)，顯然有，

當(dāng)，，

故在區(qū)間上單調(diào)遞減，得，

從而的取值范圍為.