Question

15．計(jì)算：[$\frac{（0+3）×（0+4）}{（0+1）×（0+2）}$]+[$\frac{（1+3）×（1+4）}{（1+1）×（1+2）}$]+[$\frac{（2+3）×（2+4）}{（2+1）×（2+2）}$]+…+[$\frac{（2016+3）×（2016+4）}{（2016+1）×（2016+2）}$]=2026．
（其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，比如[3.2]=3，[6]=6）

Answer 1

分析 先寫出前幾項(xiàng)的結(jié)果，再根據(jù)數(shù)列的函數(shù)特征得到后面的結(jié)果，問題得以解決．

解答 解：[$\frac{（0+3）×（0+4）}{（0+1）×（0+2）}$]=6，[$\frac{（1+3）×（1+4）}{（1+1）×（1+2）}$]=[$\frac{10}{3}$]=3，[$\frac{（2+3）×（2+4）}{（2+1）×（2+2）}$]=[$\frac{5}{2}$]=2，[$\frac{（3+3）（3+4）}{（3+1）（3+2）}$]=[2.1]=2，[$\frac{（4+3）（4+4）}{（4+1）（4+2）}$]=[$\frac{28}{15}$]=1，
由于數(shù)列$\frac{（n+3）（n+4）}{（n+1）（n+2）}$為遞減數(shù)列，且$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{（n+3）（n+4）}{（n+1）（n+2）}$=1，
[$\frac{（2016+3）×（2016+4）}{（2016+1）×（2016+2）}$]=1，
∴[$\frac{（0+3）×（0+4）}{（0+1）×（0+2）}$]+[$\frac{（1+3）×（1+4）}{（1+1）×（1+2）}$]+[$\frac{（2+3）×（2+4）}{（2+1）×（2+2）}$]+…+[$\frac{（2016+3）×（2016+4）}{（2016+1）×（2016+2）}$]=6+3+2+2+$\underset{\underbrace{1+1+…+1}}{2013個(gè)}$=13+2013=2026，
故答案為：2026

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的數(shù)列的函數(shù)特征和新定義的應(yīng)用，屬于中檔題．