Question

7．如圖，點(diǎn)P為等腰直角△ABC內(nèi)部（不含邊界）一點(diǎn)，AB=BC=AP=1，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，交AC于點(diǎn)Q．記∠PAB=θ，△APQ面積為S（θ）．
（1）求S（θ）關(guān)于θ的函數(shù)；
（2）求S（θ）的最大值，并求出相應(yīng)的θ值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理求出PQ，再利用三角形的面積公式，即可求S（θ）關(guān)于θ的函數(shù)；
（2）利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）在△APQ中，由正弦定理可得$\frac{PQ}{sin（45°-θ）}=\frac{1}{sin135°}$，
∴PQ=$\sqrt{2}$sin（45°-θ），
∴S（θ）=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$sin（45°-θ）•1•sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（45°-θ）•sinθ（0°＜θ＜45°），
（2）S（θ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（45°-θ）•sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ）•sinθ=$\frac{1}{4}$sin2θ-$\frac{1}{2}$•$\frac{1-cos2θ}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$sin（2θ+45°）-$\frac{1}{4}$，
∴2θ+45°=90°，即θ=22.5°時(shí)，S（θ）的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$-$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，考查輔助角公式，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．