求下列函數(shù)的導數(shù)：
（1）y=2x³+log₂x；
（2）y=

cosx

sinx

+2^x．

求與雙曲線

x2

16

-

y2

4

=1有公共焦點，且過點（3

2

，2）的雙曲線的標準方程，并寫出其漸近線方程．

若x，y∈R⁺，且

1

x

+

4

y

=1，求u=x+y的最小值．

設函數(shù)f（x）=alnx+bx²+x的極值點是x=1和x=2．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在[1，3]上的最大值．

學習曲線是1936年美國廉乃爾大學T．P．Wright博士在飛機制造過程中，通過對大量有關資料、案例的觀察、分析、研究，首次發(fā)現(xiàn)并提出來的．已知某類學習任務的學習曲線為：f（t）=

3

4+a•2-t

•100%（其中f（t）為掌握該任務的程度，t為學習時間），且這類學習任務中的某項任務滿足f（2）=60%．
（1）求f（t）的表達式，計算f（0）并說明f（0）的含義；
（2）若定義

f(t)

2t-1

為該類學習任務在t時刻的學習效率指數(shù)，研究表明，當學習時間t∈（1，2）時，學習效率最佳．當學習效率最佳時，求學習效率指數(shù)相應的取值范圍．

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

6

3

，且橢圓C上的點到原點的距離的最大值為

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若動點P滿足

OP

=

OM

+3

ON

，其中M、N是橢圓上不同兩點，直線OM、ON的斜率之積為-

1

3

，求動點P的軌跡方程．

已知數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n，且2S_n=2-a_n．求數(shù)列{a_n}的通項公式．

已知函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）（a是常數(shù)）． 
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）當y=f（x）在x=1處取得極值時，若關于x的方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）求證：當n≥2，n∈N^*時，（1+

1

22

）（1+

1

32

）…（1+

1

n2

）＜e．

設函數(shù)f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a、b、c、d∈R）圖象關于原點對稱，且當x=1時，f（x）取極小值-

2

3

（Ⅰ）求a、b、c、d的值；
（Ⅱ）若x₁，x₂∈[-1，1]時，求證：|f（x₁）-f（x₂）|≤

4

3

．
（Ⅲ）當x∈[-1，1]時，圖象上是否存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直？試證明你的結論．

已知函數(shù)f（x）=xlnx-ax²，x＞0
（1）當a=2時，函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若在區(qū)間（2，3）內任取實數(shù)p，q（p＞q）都有不等式

f(p)-f(q)

p-q

＜1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）有兩個極值點x₁，x₂（0＜x₁＜x₂），求證：f（x₂）＞-

1

2

．