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4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，且橢圓上的點到右焦點F的最大距離為3
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設過點F的直線l交橢圓C于A，B兩點，定點G（4，0），求△ABG面積的最大值．

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3．如圖，已知曲線C1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0，y≤0）的離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且經過點G（1，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），曲線C2：x2=2y，過曲線C1上一點P作C2的兩條切線，切點分別為A，B．
（Ⅰ）求曲線C1的方程；
（Ⅱ）求△PAB面積的最大值與最小值．

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2．設橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F點的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為$\frac{π}{3}$，|AF|=2|FB|．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若|AF|=$\frac{5}{2}$，求橢圓C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，D為橢圓C上一點，當△ABD面積取得最大值時，求D點的坐標．

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1．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=l（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，拋物線y2=4x與橢圓C有相同的焦點，點P為拋物線與橢圓C在第一象限的交點，且|PF2|=$\frac{5}{3}$．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點F1作直線l與橢圓C交于A，B兩點，設$\overrightarrow{A{F_1}}=λ\overrightarrow{{F_1}B}$．若λ∈[1，2]，求△ABF2面積的取值范圍．

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20．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$過點A（2，0），離心率$e=\frac{1}{2}$，斜率為k（0＜k≤1）直線l過點M（0，2），與橢圓C交于G，H兩點（G在M，H之間），與x軸交于點B．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）P為x軸上不同于點B的一點，Q為線段GH的中點，設△HPG的面積為S1，△BPQ面積為S2，求$\frac{S_1}{S_2}$的取值范圍．

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19．已知橢圓G：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，短半軸長為1．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）設橢圓G的短軸端點分別為A，B，點P是橢圓G上異于點A，B的一動點，直線PA，PB分別與直線x=4于M，N兩點，以線段MN為直徑作圓C．
①當點P在y軸左側時，求圓C半徑的最小值；
②問：是否存在一個圓心在x軸上的定圓與圓C相切？若存在，指出該定圓的圓心和半徑，并證明你的結論；若不存在，說明理由．

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18．已知中心在原點，焦點在y軸上的橢圓C，其上一點P到兩個焦點F1，F(xiàn)2的距離之和為4，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線y=kx+1與曲線C交于A，B兩點，求△AOB面積的取值范圍．

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17．已知橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$經過點$（{2\sqrt{2}，2}）$，且離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓E的左，右焦點
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點A，B是橢圓E上關于y軸對稱兩點（A，B不是長軸的端點），點P是橢圓E上異于A，B的一點，且直線PA，PB分別交y軸于點M，N，求證：直線MF1與直線NF2的交點G在定圓上．

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16．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），其左、右焦點分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）（c＞0）．
（Ⅰ）若c=2，且F2關于直線y=$\frac{12}{5}$x+$\frac{5}{6}$的對稱點在橢圓E上，求橢圓E的方程；
（Ⅱ）如圖所示，若橢圓E的內接平行四邊形的一組對邊分別經過它的兩個焦點，試求這個平行四邊形的面積的最大值．

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15．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足2Sn=3an-$\frac{1}{2}$，n∈N*．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=1+2log32an，求證：$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{2}$．

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