12．設點A₁（-$\sqrt{2}$，0）和點A₂（$\sqrt{2}$，0），直線A₁M、A₂M相交于點M，且它們的斜率之積是-$\frac{1}{2}$．設M的軌跡為C，過點F（1，0）作直線l交C于P、Q兩點．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）求|PQ|的最小值；
（3）是否存在點N，使得以線段PQ為直徑的圓過該定點，若存在，求出定點N的坐標；若不存在，請說明理由．

11．設圓C：（x-3）²+（y-2）²=1（a＞0）與直線y=$\frac{3}{4}$x相交于P、Q兩點，則|PQ|=$\frac{4\sqrt{6}}{5}$．

10．在直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=2+sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為：sinθ-2cosθ=0，直線l與圓C相交于A，B兩點，且|OA|＜|OB|．
（1）求圓C的普通方程和直線l的直角坐標方程；
（2）求$\frac{{|{OA}|}}{{|{AB}|}}$的值．

9．已知圓C：x²+y²-（6-2m）x-4my+5m²-6m=0，則圓心C的軌跡方程為2x+y-6=0，直線l經(jīng)過點（-1，1），若對任意的實數(shù)m，直線l被圓C截得的弦長都是定值，則直線l的一般式方程為2x+y+1=0．

8．已知直線$\sqrt{3}$x-y+2=0及直線$\sqrt{3}$x-y-10=0截圓C所得的弦長均為8，則圓C的面積是（　�。�

A．

25π

B．

36π

C．

49π

D．

32π

7．已知圓C與y軸相切，圓心在直線x-2y=0上，且被x軸的正半軸截得的弦長為2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若點（x，y）在圓C上，求x+2y的最大值．

6．若數(shù)對（a，b）（a＞1，b＞1，a，b∈N^*），對于?m∈Z，?x，y∈Z，使m=xa+yb成立，則稱數(shù)對（a，b）為全體整數(shù)的一個基底，（x，y）稱為m以（a，b）為基底的坐標；
（Ⅰ）給出以下六組數(shù)對（2，3），（2，5），（2，6），（3，5），（3，12），（9，17），寫出可以作為全體整數(shù)基底的數(shù)對；
（Ⅱ）若（a，b）是全體整數(shù)的一個基底，對于?m∈Z，m以（a，b）為基底的坐標（x，y）有多少個？并說明理由；
（Ⅲ）若（2，m）是全體整數(shù)的一個基底，試寫出m的所有值，并說明理由．

5．（普通中學做）已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點P（0，2），離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）試問是否存在直線l：y=kx-$\frac{4}{3}$與橢圓C相交于不同的兩點M，N，且|PM|=|PN|？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

4．（重點中學做）如圖所示，設A，B分別是橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右頂點和上頂點，過原點O作直線交線段AB于點M（異于點A，B），交橢圓于C，D兩點（點C在第一象限內(nèi)），△ABC與△ABD的面積分別為S₁與S₂．
（1）若M是線段AB的中點，直線OM的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，點P（3，1）在橢圓E上，求橢圓E的方程；
（2）當點M在線段AB上運動時，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最大值．

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），左焦點為F₁（-$\sqrt{3}$，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點（m，0）作圓x²+y²=1的切線l交橢圓C于A，B兩點，將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值．