Question

12．鐵路拐彎處的彎道半徑r是根據(jù)地形決定的，彎道處要求外軌道比內(nèi)軌道高，其內(nèi)外軌道高度差h的設(shè)計不僅與r有關(guān)，還取決于火車在彎道上的行駛速率．鐵路設(shè)計人員技術(shù)手冊中，彎道半徑r及與之相對應(yīng)的軌道高度差h的數(shù)據(jù)，如表所示：

彎道半徑r（m）	660	330	220	165	132	110
內(nèi)外軌高度差h（mm）	50	100	150	200	250	300

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，試導(dǎo)出h與r關(guān)系的表達式，并求出當r=440m時，h的設(shè)計值．
（2）已知我國鐵路內(nèi)外軌的間距設(shè)計值為L=1435mm，算出我國火車的轉(zhuǎn)彎速度大小；
（3）當一節(jié)質(zhì)量M=100t的車廂以v=72km/h，在r=440m彎道處拐彎時，求出火車車輪之間側(cè)向擠壓力F_N的大�。�

Answer 1

分析 （1）由于660×50=330×100=220×150為定值即hr=33m²，故可以求出當r=440m時h的設(shè)計值；
（2）因為火車運動的軌跡圓沿水平方向，轉(zhuǎn)彎中，當內(nèi)外軌對車輪沒有側(cè)向壓力時，軌道的支持力在豎直方向的分力平衡重力，在水平方向的分力恰好提供向心力，求出火車轉(zhuǎn)彎的速率v．
（3）根據(jù)重力和支持力的合力以及軌道的側(cè)壓力之和提供向心力，求出側(cè)壓力的大小．

解答 解：（1）分析表中數(shù)據(jù)可得，每組的h與r之乘積均等于常數(shù)
C=660m×50×10^-3m=33m²
因此 h•r=33（或h=$\frac{33}{r}$）    ①
當r=440m時，有：
h=$\frac{33}{440}m$=0.075m=75mm
（2）轉(zhuǎn)彎中，當內(nèi)外軌對車輪沒有側(cè)向壓力時，火車的受力如圖所示．由牛頓第二定律得：
$mgtanθ=m\frac{{v}^{2}}{r}$ ②
因為θ很小，有：tanθ=sinθ=$\frac{h}{L}$③
由②③可得：$v=\sqrt{\frac{ghr}{L}}$ ④
代入數(shù)據(jù)得：v=15m/s=54km/h
（3）72km/h=20m/s，
因為h•r=33，r=440m時，h=$\frac{33}{440}m=0.075m$，
根據(jù)牛頓第二定律得，$mgtanθ+{F}_{N}=m\frac{v{′}^{2}}{r}$，
解得${F}_{N}=m\frac{v{′}^{2}}{r}-mgtanθ=1×1{0}^{5}×\frac{400}{440}$-$1×1{0}^{6}×\frac{0.075}{1.435}N$=3.86×10⁴N．
答：（1）h的設(shè)計值為75mm．
（2）我國火車的轉(zhuǎn)彎速度大小為54km/h．
（3）火車車輪之間側(cè)向擠壓力F_N的大小為3.86×10⁴N．

點評 軌道的支持力在豎直方向的分力平衡重力，在水平方向的分力提供向心力，一定不能沿斜面和垂直于斜面分解重力，因為火車運動的軌跡圓沿水平方向而不是沿斜面方向．