Question

10．有一容器容積為V，內(nèi)原有壓強(qiáng)等于大氣壓p₀的空氣，質(zhì)量為m，現(xiàn)用最大體積為$\frac{V}{20}$的活塞式既能打氣又能抽氣的兩用機(jī)，先對(duì)容器打氣n次，接著抽氣n次，試問最終容器內(nèi)空氣壓強(qiáng)和質(zhì)量是否可以恢復(fù)原狀？設(shè)整個(gè)過程溫度不變．

Answer 1

分析 氣體發(fā)生等溫變化，把容器內(nèi)的氣體與打入的氣體為研究對(duì)象，應(yīng)用玻意耳定律求出打氣后的壓強(qiáng)；把容器內(nèi)的氣體與抽出的氣體作為研究對(duì)象，應(yīng)用玻意耳定律求出抽氣后氣體的壓強(qiáng)，然后分析答題．

解答 解：先打氣n次，每次打進(jìn)氣體壓強(qiáng)均為p₀，體積均為$\frac{V}{20}$，氣體發(fā)生等溫變化，由玻意耳定律得：
${p_0}（V+n•\frac{V}{20}）={p_1}V$，
打氣n次后壓強(qiáng)變?yōu)椋?{p_1}=\frac{20+n}{20}{p_0}$，
接著抽氣：
第一次抽氣前后：${p_1}V=p_1^/（V+\frac{V}{20}）$
第二次抽氣前后：$p_1^/V={p_2}（V+\frac{V}{20}）$
…
第n次抽氣前后：${p_{n-1}}V={p_n}（V+\frac{V}{20}）$
這n個(gè)式子兩邊分別相乘得：${p_1}={p_n}{（\frac{21}{20}）^n}$，${p_n}={（{\frac{20}{21}}）^n}{p_1}={（{\frac{20}{21}}）^n}•\frac{20+n}{20}{p_0}$
顯然，僅當(dāng)n=1時(shí)，p_n=p₀；n＞1的自然數(shù)時(shí)，p_n＜p₀不能復(fù)原．
$\frac{{{p_n}V}}{{{p_0}V}}=\frac{{\frac{m_n}{M}RT}}{{\frac{m_0}{M}RT}}$，${m_n}=\frac{p_n}{p_0}{m_0}={（{\frac{20}{21}}）^n}•\frac{20+n}{20}{m_0}$，
僅當(dāng)n=1時(shí)，m_n=m₀；n＞1的自然數(shù)時(shí)，m_n＜m₀不能復(fù)原．
答：僅當(dāng)n=1時(shí)，p_n=p₀；n＞1的自然數(shù)時(shí)，p_n＜p₀不能復(fù)原；
僅當(dāng)n=1時(shí)，m_n=m₀；n＞1的自然數(shù)時(shí)，m_n＜m₀不能復(fù)原．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了判斷氣體壓強(qiáng)與質(zhì)量是否變化，應(yīng)用玻意耳定律可以解題，解題時(shí)注意數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用．