Question

16．如圖，在長直公路上有A、B、C三個點，x_AB=146m，x_BC=119m，B處為一個受信號燈管控的節(jié)點，信號燈每T=10s一次在紅燈和綠燈之間轉換，亮紅燈時車輛不準通過，亮綠燈時車輛準許以不超過v₁=10m/s的速度通過，ABC全路段的行駛速度均不得超過v₂=20m/s．現有一輛特種汽車，這種汽車在水平道路上行駛時，只有勻速、勻加速、勻減速三個模式可供轉換，且在勻加速和勻減速過程中的加速度大小均被設定為a=1.0m/s²，勻速行駛的速度大小可在0至v₃=25m/s之間選擇．當t=0時，綠燈正好亮起，此時汽車停在A處，欲駛往C處，要求汽車盡早安全到達且停在C處．本題中汽車可視為質點．則：

（1）汽車應該在什么時刻通過B節(jié)點？通過B節(jié)點時的速度大小應該是多少？
（2）汽車最早在什么時刻到達且停在C處．

Answer 1

分析 （1）先判斷出全加速時不可以通過B節(jié)點，通過先加速后減小至10m/s到達B節(jié)點，結合位移關系，運用速度位移公式求出加速的末速度，判斷出未超過最大速度，結合速度時間公式求出A到B的時間，通過信號燈的周期得出通過B節(jié)點的時間，得知通過B節(jié)點的速度．
（2）從B點出發(fā)，當汽車先加速，然后做減速運動，抓住總位移的大小求出最大速度，判斷是否超速，再結合速度時間公式求出BC段的時間，得出總時間的大�。�

解答 解：（1）先考慮從A到B的最快時間：
若全加速：v=$\sqrt{2a{x}_{AB}}$，超出了B處v₁=10m/s的限制，且到達B處時是紅燈，不可以．                 
若先加速至v，再減速至v₁=10m/s：x_AB=$\frac{{v}^{2}}{2a}$+$\frac{{v}_{1}^{2}-{v}^{2}}{（-2a）}$，得v=14m/s，既未超v₂=20m/s，也未超v₃=25m/s，
所需時間為：△t_AB=$\frac{v}{a}$+$\frac{{v}_{1}-v}{-a}$=18s，此時B處還是紅燈．
所以通過B節(jié)點的最早時刻應該是t₁=18+2s=20s，
且此時的速度大小應該是v_B=10m/s．  
（2）以前問為基礎，當t₁=20s時汽車以v_B=10m/s安全通過B節(jié)點后，設先加速到v′，再減速至零剛好安全停在C處：x_BC=$\frac{{v}^{′2}-{v}_{B}^{2}}{2a}$+$\frac{0-{v}^{′2}}{-2a}$，得v′=13m/s，既未超v₂=20m/s，也未超v₃=25m/s．  
所需要時間為：△t_BC=$\frac{v′-{v}_{B}}{a}$+$\frac{0-v′}{-a}$=16s．
此時t₂=t₁+△t_BC=36s
答：（1）汽車應該在t=20s時通過B節(jié)點，通過B節(jié)點時的速度大小應該是10m/s．
（2）汽車最早在t=36s時刻到達且停在C處．

點評 解決本題的關鍵理清汽車的運動規(guī)律，結合勻變速直線運動的運動學公式靈活求解，注意在計算時要考慮速度是否超速．