Question

11．如圖所示，在傾角為θ=30°的足夠長的固定的光滑斜面上，有一質量為M=3kg的長木板正以v₀=10m/s的初速度沿斜面向下運動，現(xiàn)將一質量m=lkg的小物塊（大小可忽略）輕放在長木板正中央．已知物塊與長木板間的動摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，設物塊與木板間最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取重力加速度g=l0m/s²
（1）求放上小物塊后，木板和小物塊的加速度大小．
（2）要使小物塊不滑離長木板，長木板至少要有多長？
（3）假設長木板長L=16m，在輕放小物塊的同時對長木板施加一沿斜面向上的F=45N的恒力，求小物塊在長木板上運動過程中F所做的功及系統(tǒng)機械能的增量．

Answer 1

分析 （1）分析木板和小物塊的受力情況，由牛頓第二定律求各自的加速度大小．
（2）小物塊恰好不滑離長木板時兩者速度相同，由速度相等的條件求出經(jīng)過的時間，再由位移時間公式求出兩者的位移，位移之差等于板長．
（3）分析小物塊和木板的受力情況，求出兩者的加速度，再由速度公式求出共速時所用時間，求出小物塊的位移，再求F所做的功．由功能關系求系統(tǒng)機械能的增量．

解答 解：（1）小鐵塊在長木板上滑動時受到的沿板的滑動摩擦力大小為：
  f=μmgcosθ=7.5N                                               
由牛頓第二定律，對小物塊和長木板，有：
   f+mgsinθ=ma₁            
得 a₁=12.5m/s²                              
   Mgsinθ-f=Ma₂
得 a₂=2.5m/s²                                 
（2）當小物塊與長木板共速時，v₁=a₁t₁=v₀+a₂t₁
得 t₁=1s，v₁=12.5m/s                          
共速后，小物塊與長木板一起減速，相對位移
 S=$\frac{10+12.5}{2}×1-\frac{12.5+0}{2}×1=5m$
故長木板長度至少為L≥10m                                          
（3）由牛頓第二定律，得：
對小物塊有：f+mgsinθ=ma₃，a₃=12.5m/s²，沿斜面向下 
對長木板：F+f-Mgsinθ=ma₄，a₄=12.5m/s²，沿斜面向上
當小物塊與長木板共速時，v₂=a₁t₂=v₀-a₄t₂
得 t₂=0.4s，v₁=5m/s               
此時小物塊位移   ${s_1}=\frac{0+5}{2}×0.4=1m$
長木板位移  ${s_2}=\frac{10+5}{2}×0.4=3m$
共速后，假設小物塊與長木板一起減速，則    
  F-（M+m）gsinθ=（M+m）a₅
得 a₅=11.25m/s²（沿斜面向上）
對小物塊有：f′-mgsinθ=ma₅，f′＞f_max=7.5N（沿斜面向上）
所以，小物塊將相對長木板向下滑動                                     
對小物塊：f-mgsinθ=ma₆，a₆=2.5m/s² （沿斜面向上）   
對長木板：F-f-Mgsinθ=ma₇，a₇=7.5m/s²（沿斜面向上）  
小物塊從長木板上滑落時，有 5t₃-$\frac{1}{2}$×2.5t₃²-（5t₃-$\frac{1}{2}$×7.5t₃²）=8+2
得 t₃=2s          
此時小物塊速度  v₄=5-2.5×2=0，位移 $s3=\frac{0+5}{2}×2=5m$
長木板速度  v₅=5-7.5×2=-10m/s，位移 $s4=\frac{5-10}{2}×02=-5m$
則從小物塊輕放在長木板中點到滑落，長木板位移 s₆=3-5=-2m，（沿斜面向上）
F做功 W_F=45×2=90J                                                   
產(chǎn)生熱能 Q=fs_相=7.5×[$\frac{1}{2}$+2×（3-1）]=90J
機械能增量為△E=W_F-Q=0                                                   
答：
（1）放上小物塊后，木板和小物塊的加速度大小分別為12.5m/s²和2.5m/s²．
（2）要使小物塊不滑離長木板，長木板至少要有10m長．
（3）小物塊在長木板上運動過程中F所做的功是90J，系統(tǒng)機械能的增量為0．

點評 解決本題的關鍵理清物塊和木板的運動情況，抓住隱含的臨界狀態(tài)：速度相同，結合牛頓第二定律和運動學公式聯(lián)合求解，知道加速度是聯(lián)系力學和運動學的橋梁．