Question

8．如圖所示，定滑輪B、C與動(dòng)滑輪D組成一滑輪組，各滑輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦、滑輪的質(zhì)量均不計(jì)．在動(dòng)滑輪D上，懸掛有砝碼托盤A，跨過滑輪組的不可伸長的輕線的兩端各掛有砝碼2和3．一根用輕線（圖中穿過彈簧的那條堅(jiān)直線）拴住的壓縮輕彈簧豎直放置在托盤底上，彈簧的下端與托盤底固連，上端放有砝碼1（兩者未粘連）．已加三個(gè)砝碼和砝碼托盤的質(zhì)量都是m，彈簧的勁度系數(shù)為k，壓縮量為l₀，整個(gè)系統(tǒng)處在靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)突然燒斷栓住彈簧的輕線，彈簧便伸長，并推動(dòng)砝碼1向上運(yùn)動(dòng)，直到砝碼1與彈簧分離．假設(shè)砝碼1在以后的運(yùn)動(dòng)過程中不會(huì)與托盤的頂部相碰．求砝碼1從與彈簧分離至再次接觸經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析 首先做出從燒斷線到砝碼1與彈簧分離經(jīng)歷在這段時(shí)間內(nèi)，各砝碼和砝碼托盤的受力情況如圖1所示：圖中，F(xiàn)表示△t 時(shí)間內(nèi)任意時(shí)刻彈簧的彈力，T 表示該時(shí)刻跨過滑輪組的輕繩中的張力，mg為重力，T₀為懸掛托盤的繩的拉力．分清過程，合理利用整體和隔離法對研究對象進(jìn)行受力分析，并列方程，進(jìn)而逐步進(jìn)行求解．

解答 解：設(shè)從燒斷線到砝碼1與彈簧分離經(jīng)歷的時(shí)間為△t，在這段時(shí)間內(nèi)，各砝碼和砝碼托盤的受力情況如圖1所示：圖中，F(xiàn)表示△t 時(shí)間內(nèi)任意時(shí)刻彈簧的彈力，T 表示該時(shí)刻跨過滑輪組的輕繩中的張力，mg為重力，T₀為懸掛托盤的繩的拉力．因D的質(zhì)量忽略不計(jì)，有      T₀=2T   （1）
在時(shí)間△t 內(nèi)任一時(shí)刻，法碼1向上運(yùn)動(dòng)，托盤向下運(yùn)動(dòng)，砝碼2、3則向上升起，但砝碼2、3與托盤速度的大小是相同的．設(shè)在砝碼1與彈簧分離的時(shí)刻，砝碼1的速度大小為v₁，砝碼2、3與托盤速度的大小都是v₂，由動(dòng)量定理，有
I_F-I_mg=mv₁（2）I_T-I_mg=mv₂（3）I_T-I_mg=mv₂（4）${I}_{F}+{I}_{mg}-{I}_{{T}_{0}}={mv}_{2}$（5）
式中I_F、I_mg、I_T、I_T0分別代表力F、mg、T、T₀在△t 時(shí)間內(nèi)沖量的大�。�注意到式（1），有I_T0=2I_T（6）
由（2）、（3）、（4）、（5）、（6）各式得 ${v}_{2}=\frac{1}{3}{v}_{1}$    （7）
在彈簧伸長過程中，彈簧的上端與砝碼1一起向上運(yùn)動(dòng)，下端與托盤一起向下運(yùn)動(dòng)．以△l₁表示在△t 時(shí)間內(nèi)彈簧上端向上運(yùn)動(dòng)的距離，△l₂表示其下端向下運(yùn)動(dòng)的距離．由于在彈簧伸長過程中任意時(shí)刻，托盤的速度都為砝碼1的速度的1/3，故有
${△l}_{2}=\frac{1}{3}△{l}_{1}$（8）另有△l₁+△l₂=l₀（9）
在彈簧伸長過程中，機(jī)械能守恒，彈簧彈性勢能的減少等于系統(tǒng)動(dòng)能和重力勢能的增加，即有   
$\frac{1}{2}{{kl}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}{{mv}_{1}}^{2}+3×\frac{1}{2}{{mv}_{2}}^{2}+{mg△l}_{1}-{mg△l}_{2}+2{mg△l}_{2}$ （10）
由（7）、（8）、（9）、（10）式得    ${{v}_{1}}^{2}=\frac{3}{2m}（\frac{1}{2}{{kl}_{0}}^{2}-{mgl}_{0}）$（11）
砝碼1與彈簧分開后，砝碼作上拋運(yùn)動(dòng)，上升到最大高度經(jīng)歷時(shí)間為t₁，有v₁=gt₁  （12）
砝碼2、3和托盤的受力情況如圖2所示，以a表示加速度的大小，有mg-T=ma  （13）
mg-T=ma  （14）T₀-mg=ma（15）T₀=2T  （16）
由（14）、（15）和（16）式得 $a=\frac{1}{3}g$（17）
托盤的加速度向上，初速度v₂向下，設(shè)經(jīng)歷時(shí)間t₂，托盤速度變?yōu)榱悖�有v₂=at₂  （18）
由（7）、（12）、（17）和（18）式，得 ${t}_{1}={t}_{2}=\frac{{v}_{1}}{g}$（19）即砝碼1自與彈簧分離到速度為零經(jīng)歷的時(shí)間與托盤自分離到速度為零經(jīng)歷的時(shí)間相等．由對稱性可知，當(dāng)砝碼回到分離位置時(shí)，托盤亦回到分離位置，即再經(jīng)歷t₁，砝碼與彈簧相遇．題中要求的時(shí)間t_總=2t₁（20）
由（11）、（12）、（20）式得  ${t}_{總}=\frac{2}{g}\sqrt{\frac{3}{2m}（\frac{1}{2}{{kl}_{0}}^{2}-{mgl}_{0}）}$

點(diǎn)評 該題中涉及機(jī)械能守恒，動(dòng)量定理等知識，并要求學(xué)生熟知滑輪的相關(guān)知識，涉及的過程復(fù)雜，受力分析比較繁瑣，解題難度大．