Question

17．如圖所示，已知半徑分別為R和r（R＞r）的甲、乙兩個光滑的圓形軌道安置在同一豎直平面上，甲軌道左側(cè)又連接一個光滑的軌道，兩圓形軌道之間由一條水平軌道CD相連．一小球自某一高度由靜止滑下，先滑上甲軌道，通過動摩擦因數(shù)為μ的CD段，又滑上乙軌道，最后離開圓軌道．若小球在兩圓軌道的最高點對軌道壓力都恰好為零．試求：
（1）小球分別經(jīng)過C、D時的速度V_C和V_D的大�。�
（2）小球由靜止釋放時的高度h；
（3）水平CD段的長度l．

Answer 1

分析 （1）小球滾到兩圓軌道最高點均僅受重力，運用向心力公式可求出在其位置的速度；
（2）因為軌道光滑，則由機械能守恒定律可求出軌道最低點速度，從而也求出釋放的高度；
（3）由于CD段粗糙，不能運用機械守恒定律，選用動能定理，就可算出長度．

解答 解：（1）小球在光滑圓軌道上滑行時，機械能守恒，設(shè)小球滑過C點時的速度為v_c，通過甲環(huán)最高點速度為v′，
根據(jù)小球?qū)ψ罡唿c壓力為零，有：mg=$\frac{{v}^{′2}}{R}$   ①
取軌道最低點為零勢能點，由機械守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv_C²=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv^′2  ②
由①、②兩式消去v′，可得v_C=$\sqrt{5gR}$　　　　　　　    ③
同理可得小球滑過D點時的速度v_D=$\sqrt{5gr}$　　　　　　　 ④
所以小球經(jīng)過C點的速度為$\sqrt{5gR}$； 經(jīng)過D點的速度為$\sqrt{5gr}$．
（2）小球從在甲軌道左側(cè)光滑軌道滑至C點時機械能守恒，有：mgh=$\frac{1}{2}$mv_C²　          ⑤
由③、⑤兩式聯(lián)立解得  h=2.5R
（3）設(shè)CD段的長度為l，對小球滑過CD段過程應(yīng)用動能定理可得：-μmgl=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv_C²   ⑥
由③、④、⑥三式聯(lián)立解得l=$\frac{5（R-r）}{2μ}$
答：（1）小球經(jīng)過C點的速度為$\sqrt{5gR}$； 經(jīng)過D點的速度為$\sqrt{5gr}$；
（2）小球由靜止釋放時的高度為2.5R；
（3）水平CD段的長度為$\frac{5（R-r）}{2μ}$．

點評 掌握向心力公式外，還熟悉了牛頓第二定律，最后比較了機械能守恒定律與動能定理的優(yōu)缺點．本題中小球在軌道最高點壓力為零是解題的切入點．