Question

13．如圖所示，天車質(zhì)量為M=40kg，可沿著光滑的水平軌道運動．天車上拴著一根長為 L=40m的不可伸長的輕繩，輕繩另一端拴著一個質(zhì)量為m=20kg的小球，現(xiàn)控制小球使輕繩偏離豎直方向60°角處于自然伸直狀態(tài)，球與天車均靜止．給天車施加一水平向右的恒力F的同時放開小球，運動中兩者恰好能保持相對靜止．當(dāng)天車運動了d=5$\sqrt{3}$m時撤去F，同時鎖定天車．不計空氣阻力，取重力加速度g=10m/s²．請通過計算回答下列問題：
（1）求恒力F的沖量I
（2）求小球運動到最右端時距最低點的高度h；
（3）若小球剛擺動到最右端時立即解除對天車的鎖定，求在解除鎖定后小球第一次通過最低點時輕繩對小球的拉力F_T．

Answer 1

分析 （1）隔離對球分析，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，結(jié)合速度位移公式求出小球和天車的速度，根據(jù)動量定理求出恒力F的沖量．
（2）天車鎖定后小球先做平拋運動，當(dāng)繩繃直后做圓周運動．求出平拋運動的時間以及下降的高度，由于繩不可伸長，故繩繃直后小球只剩下水平方向的速度，即小球在最低點開始向右擺動的速度，根據(jù)機械能守恒定律求出小球運動到最右端時距最低點的高度．
（3）根據(jù)水平方向上動量守恒和機械能守恒求出最低點的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出繩子的拉力．

解答 解：（1）設(shè)車與小球共同運動的加速度為a，以球為研究對象，受力分析如圖，
由牛頓第二定律，有：F_合=ma，而F_合=mgtanθ
解得：a=$10\sqrt{3}$m/s²，
由運動學(xué)知識可知，剛撤去拉力時小球與天車的速度為：$v=\sqrt{2ad}$，代入數(shù)據(jù)得：v=$10\sqrt{3}m/s$，
對小球與天車水平方向由動量定理，
有：I=（M+m）v 即I=600$\sqrt{3}$Ns．
（2）天車鎖定后小球先做平拋運動，當(dāng)繩繃直后做圓周運動．先分析繩子繃直時小球的位置，
設(shè)小球運動到懸點正下方的時間為t，由水平方向勻速運動可得：t=$\frac{Lsinθ}{v}$
代入數(shù)據(jù)得：t=2s 
該段時間小球下降的高度為：h₁=$\frac{1}{2}$gt²
代入數(shù)據(jù)得：h₁=20m即小球在懸點正下方（最低點）處繩子繃直．
由于繩不可伸長，故繩繃直后小球只剩下水平方向的速度，即小球在最低點開始向右擺動的速度為：$v=10\sqrt{3}$m/s．
由機械能守恒定律，有：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mgh$，
代入數(shù)據(jù)得：h=15m．
（3）設(shè)球擺到最低點時球和天車的速度大小分別為v₁和v₂，規(guī)定向右為正方向，由水平方向動量守恒和機械能守恒，
有：mv₁=Mv₂ 
mgh=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂² 
在最低點對小球由牛頓第二定律，有：F_T-mg=m$\frac{（{v}_{1}+{v}_{2}）^{2}}{L}$．
代入數(shù)據(jù)解得F_T=425N．
答：（1）恒力F的沖量I為600$\sqrt{3}$Ns．
（2）小球運動到最右端時距最低點的高度h為15m；
（3）解除鎖定后小球第一次通過最低點時輕繩對小球的拉力為425N．

點評 本題考查了牛頓第二定律、機械能守恒定律、動量守恒定律、動量定理的綜合運用，知道天車鎖定時，小球先做平拋運動，然后做圓周運動，本題難度較大，對學(xué)生的能力要求較高，需加強這方面的訓(xùn)練．