Question

13．如圖所示，天車質(zhì)量為M=40kg，可沿著光滑的水平軌道運(yùn)動(dòng)．天車上拴著一根長(zhǎng)為 L=40m的不可伸長(zhǎng)的輕繩，輕繩另一端拴著一個(gè)質(zhì)量為m=20kg的小球，現(xiàn)控制小球使輕繩偏離豎直方向60°角處于自然伸直狀態(tài)，球與天車均靜止．給天車施加一水平向右的恒力F的同時(shí)放開小球，運(yùn)動(dòng)中兩者恰好能保持相對(duì)靜止．當(dāng)天車運(yùn)動(dòng)了d=5$\sqrt{3}$m時(shí)撤去F，同時(shí)鎖定天車．不計(jì)空氣阻力，取重力加速度g=10m/s²．請(qǐng)通過計(jì)算回答下列問題：
（1）求恒力F的沖量I
（2）求小球運(yùn)動(dòng)到最右端時(shí)距最低點(diǎn)的高度h；
（3）若小球剛擺動(dòng)到最右端時(shí)立即解除對(duì)天車的鎖定，求在解除鎖定后小球第一次通過最低點(diǎn)時(shí)輕繩對(duì)小球的拉力F_T．

Answer 1

分析 （1）隔離對(duì)球分析，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，結(jié)合速度位移公式求出小球和天車的速度，根據(jù)動(dòng)量定理求出恒力F的沖量．
（2）天車鎖定后小球先做平拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)繩繃直后做圓周運(yùn)動(dòng)．求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間以及下降的高度，由于繩不可伸長(zhǎng)，故繩繃直后小球只剩下水平方向的速度，即小球在最低點(diǎn)開始向右擺動(dòng)的速度，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球運(yùn)動(dòng)到最右端時(shí)距最低點(diǎn)的高度．
（3）根據(jù)水平方向上動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒求出最低點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出繩子的拉力．

解答 解：（1）設(shè)車與小球共同運(yùn)動(dòng)的加速度為a，以球?yàn)檠芯繉?duì)象，受力分析如圖，
由牛頓第二定律，有：F_合=ma，而F_合=mgtanθ
解得：a=$10\sqrt{3}$m/s²，
由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)可知，剛撤去拉力時(shí)小球與天車的速度為：$v=\sqrt{2ad}$，代入數(shù)據(jù)得：v=$10\sqrt{3}m/s$，
對(duì)小球與天車水平方向由動(dòng)量定理，
有：I=（M+m）v 即I=600$\sqrt{3}$Ns．
（2）天車鎖定后小球先做平拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)繩繃直后做圓周運(yùn)動(dòng)．先分析繩子繃直時(shí)小球的位置，
設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到懸點(diǎn)正下方的時(shí)間為t，由水平方向勻速運(yùn)動(dòng)可得：t=$\frac{Lsinθ}{v}$
代入數(shù)據(jù)得：t=2s 
該段時(shí)間小球下降的高度為：h₁=$\frac{1}{2}$gt²
代入數(shù)據(jù)得：h₁=20m即小球在懸點(diǎn)正下方（最低點(diǎn)）處繩子繃直．
由于繩不可伸長(zhǎng)，故繩繃直后小球只剩下水平方向的速度，即小球在最低點(diǎn)開始向右擺動(dòng)的速度為：$v=10\sqrt{3}$m/s．
由機(jī)械能守恒定律，有：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mgh$，
代入數(shù)據(jù)得：h=15m．
（3）設(shè)球擺到最低點(diǎn)時(shí)球和天車的速度大小分別為v₁和v₂，規(guī)定向右為正方向，由水平方向動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，
有：mv₁=Mv₂ 
mgh=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂² 
在最低點(diǎn)對(duì)小球由牛頓第二定律，有：F_T-mg=m$\frac{（{v}_{1}+{v}_{2}）^{2}}{L}$．
代入數(shù)據(jù)解得F_T=425N．
答：（1）恒力F的沖量I為600$\sqrt{3}$Ns．
（2）小球運(yùn)動(dòng)到最右端時(shí)距最低點(diǎn)的高度h為15m；
（3）解除鎖定后小球第一次通過最低點(diǎn)時(shí)輕繩對(duì)小球的拉力為425N．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了牛頓第二定律、機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律、動(dòng)量定理的綜合運(yùn)用，知道天車鎖定時(shí)，小球先做平拋運(yùn)動(dòng)，然后做圓周運(yùn)動(dòng)，本題難度較大，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．