Question

1．如圖所示，一根長為l的細(xì)線，一端固定在頂板上，另一端栓一個質(zhì)量為m的小球，現(xiàn)使細(xì)線偏離豎直方向α=60°角后，從A點(diǎn)處無初速地釋放小球，試問：
（1）小球擺到最低點(diǎn)O時的速度多大？
（2）小球擺到左方最高點(diǎn)的高度（相對最低點(diǎn)）多高？
（3）若在懸點(diǎn)正下方處有一釘子，O′P=$\frac{l}{3}$，不計(jì)懸線與釘碰撞時的能量損失，則小球碰釘后向左擺動過程中能達(dá)到的最大高度有何變化？

Answer 1

分析 （1）（2）小球在由A到O點(diǎn)再到B的過程中，始終只有重力做功，由機(jī)械能守恒可得小球擺到最低點(diǎn)O時的速度及小球擺到左方最高點(diǎn)的高度．
（3）比較P點(diǎn)和B點(diǎn)的高度關(guān)系，可知繩子始終處于拉直狀態(tài)，小球達(dá)到最高點(diǎn)時的速度為零，由機(jī)械能守恒可判知小球碰釘后向左擺動過程中能達(dá)到的最大高度的變化．

解答 解：（1）小球由A點(diǎn)運(yùn)動到O點(diǎn)的過程中，機(jī)械能守恒，設(shè)在O點(diǎn)的速度為v_o，以O(shè)點(diǎn)的平面為零勢能面，有：
mg（l-lcos60°）=$\frac{1}{2}m{v}_{o}^{2}$
得：v_o=$\sqrt{gl}$
（2）小球在擺動的過程中機(jī)械能始終守恒，所以小球擺到左方最高點(diǎn)的高度與A點(diǎn)等高，有：
h=l-lcos60°=$\frac{1}{2}l$
（3）在懸點(diǎn)正下方處有一釘子，因O′P=$\frac{l}{3}$小于$\frac{1}{2}l$，即P點(diǎn)高于B點(diǎn)，又不計(jì)懸線與釘碰撞時的能量損失，由機(jī)械能守恒可知，小球仍能到達(dá)B點(diǎn)．所以球碰釘后向左擺動過程中能達(dá)到的最大高度沒有變化．
答：（1）小球擺到最低點(diǎn)O時的速度為$\sqrt{gl}$．
（2）小球擺到左方最高點(diǎn)的高度（相對最低點(diǎn)）為$\frac{1}{2}l$．
（3）若在懸點(diǎn)正下方處有一釘子，O′P=$\frac{l}{3}$，不計(jì)懸線與釘碰撞時的能量損失，則小球碰釘后向左擺動過程中能達(dá)到的最大高度沒有變化．

點(diǎn)評 該題考查到了機(jī)械能的守恒定律，要知道機(jī)械能守恒的條件是系統(tǒng)內(nèi)只有重力和彈力做功，解答時注意選取零勢能面．
對于第三問，注意P點(diǎn)相對于A的高度關(guān)系，在P點(diǎn)不低于A的過程中，對于小球向左運(yùn)動的過程中的最大高度沒有變化，注意若P點(diǎn)的高度低于A的高度時，要分為兩種情況分析，看繩子能否始終處于拉直狀態(tài)還是繩子有松弛過程，此兩種情況下，小球到達(dá)最高點(diǎn)時的速度不會為零．