Question

19．真空中有一等腰梯形勻強(qiáng)磁場區(qū)域ABCD，磁場方向垂直紙面向里，強(qiáng)度為B，且AD=AB=a，BC=2a，如圖所示，建立沿DA邊為x軸A為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，從A點(diǎn)在紙面內(nèi)沿y軸正方向發(fā)射各種速率的電子，設(shè)電子間相互作用忽略，已知電子的電量為e，質(zhì)量為m．
（1）在磁場中的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑分別為$\frac{1}{2}$a和$\sqrt{3}$a的電子，在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為多少？
（2）若使所有從A沿y軸正方向出發(fā)的電子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，則電子的速率應(yīng)滿足什么條件？
（3）若使電子從A沿x軸負(fù)方向出發(fā)，電子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后能再次回到x軸，速率應(yīng)滿足什么條件？且在x軸上什么范圍內(nèi)能接收到返回的電子？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角，結(jié)合圓心角之比，抓住周期相等，求出粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比．
（2）當(dāng)粒子從AB段射出，粒子對(duì)應(yīng)的圓心角相等，為60度，則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等．根據(jù)半徑，結(jié)合半徑公式求出最大速度．
（3）電子從A沿x軸負(fù)方向出發(fā)，電子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后能再次回到x軸，臨界情況是與BC邊相切，根據(jù)幾何關(guān)系求出臨界半徑，結(jié)合半徑公式求出最大速度．從而通過幾何關(guān)系求出電子打到x軸上范圍．

解答 解：（1）當(dāng)粒子在磁場中轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑為$\frac{1}{2}a$時(shí)，如圖所示，圓心為O₁，根據(jù)幾何關(guān)系知，圓心角θ₁=60°，
當(dāng)粒子在磁場中轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑為$\sqrt{3}a$時(shí)，如圖所示，圓心為O₂，設(shè)圓心角為θ₂，
則sin${θ}_{2}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\sqrt{3}a}=\frac{1}{2}$，解得θ₂=30°，
粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=$\frac{θ}{2π}T$，T=$\frac{2πm}{qB}$，
可知粒子的周期相等，則t₁：t₂=2：1．
（2）當(dāng)粒子從AB段射出，粒子對(duì)應(yīng)的圓心角相等，為60度，則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等．
根據(jù)幾何關(guān)系知，r=a，
根據(jù)$r=\frac{mv}{qB}$知，最大速度v=$\frac{eBa}{m}$．
所以v$≤\frac{eBa}{m}$．
（3）電子從A沿x軸負(fù)方向出發(fā)，電子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后能再次回到x軸，臨界情況是與BC邊相切，
根據(jù)幾何關(guān)系得，最大半徑r=$\frac{\sqrt{3}}{4}a$，
根據(jù)r=$\frac{mv}{eB}$得，最大速度${v}_{m}=\frac{\sqrt{3}eBa}{4m}$，
則$v≤\frac{\sqrt{3}eBa}{4m}$．
粒子從E點(diǎn)射出，根據(jù)幾何關(guān)系得，AE=$2rcos30°=2×\frac{\sqrt{3}}{4}a×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}a$，
因?yàn)閳A心角為60度，則粒子在x軸上A到A點(diǎn)右側(cè)$\frac{3}{4}a$范圍內(nèi)能接收到返回的電子．
答：（1）在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為2：1．
（2）電子的速率應(yīng)滿足v$≤\frac{eBa}{m}$．
（3）若使電子從A沿x軸負(fù)方向出發(fā)，電子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后能再次回到x軸，速率應(yīng)滿足$v≤\frac{\sqrt{3}eBa}{4m}$，且在x軸上從A到A點(diǎn)右側(cè)$\frac{3}{4}a$范圍內(nèi)能接收到返回的電子．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)，會(huì)確定圓心、半徑和圓心角是處理帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的基本功，本題關(guān)鍵抓住臨界狀態(tài)，作出軌跡圖，通過幾何關(guān)系，結(jié)合半徑公式和周期公式進(jìn)行求解．