Question

19．質(zhì)量分別為m₁和m₂雙星繞其連線上某一點做勻速圓周運動，已知它們之間的距離為R，求它們的軌道半徑和周期分別是多少．

Answer 1

分析 雙星系統(tǒng)靠相互間的萬有引力提供向心力，抓住它們具有相同的周期，結(jié)合萬有引力定律進行求解．

解答 解：對m₁有：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{R}^{2}}={m}_{1}{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，對m₂有：$\frac{G{m}_{1}{m}_{2}}{{R}^{2}}={m}_{2}{r}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
則m₁r₁=m₂r₂，r₁+r₂=R，
解得${r}_{1}=\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}R$，${r}_{2}=\frac{{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}R$．
代入解得T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$．
答：它們的軌道半徑分別為$\frac{{m}_{2}R}{{m}_{1}+{m}_{2}}、\frac{{m}_{1}R}{{m}_{1}+{m}_{2}}$，周期為$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$．

點評 解決本題的關鍵知道雙星系統(tǒng)的特點，知道雙星具有相同的角速度，所受的萬有引力大小相等，軌道半徑與質(zhì)量成反比．