Question

14．過山車是游樂場中常見的設(shè)施．如圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的三個(gè)圓形軌道組成，B、C、D分別是三個(gè)圓形軌道的最低點(diǎn)，設(shè)AB=BC=CD=L，半徑R₁=3.0m、R₂=2.0m、R₃=3.0m．一個(gè)質(zhì)量為m=1.0kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），從軌道的左側(cè)A點(diǎn)以某一初速度沿軌道向右運(yùn)動(dòng)，小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，圓形軌道是光滑的，圓形軌道間不相互重疊，條件滿足可從第一圓軌道運(yùn)動(dòng)到第二、第三圓軌道．重力加速度取g=10m/s²，計(jì)算結(jié)果可用根式表示，試求：
（1）如果小球恰能通過第一個(gè)和第二個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)，兩圓軌道間距L應(yīng)是多少？
（2）如果L取第一問結(jié)果，保證小球在運(yùn)動(dòng)過程中不脫離第三個(gè)圓形軌道，求小球在A點(diǎn)的初速度滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）小球恰好通過圓軌道最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出小球通過兩個(gè)圓軌道最高點(diǎn)的速度，再由動(dòng)能定理求L．
（2）小球在運(yùn)動(dòng)過程中不脫離第三個(gè)圓形軌道，有兩種可能：一、小球在第三圓軌道中做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．二、小球在下半圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)．根據(jù)牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的臨界速度，由動(dòng)能定理求初速度的范圍．

解答 解：（1）設(shè)恰好通過第一圓軌道最高點(diǎn)速度為v₁，恰好通過第二圓軌道最高點(diǎn)速度為v₂，則有：
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$，
mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$ 
小球由第一圓軌道最高點(diǎn)到第二圓軌道最高點(diǎn)過程有：
mg（2R₁-2R₂）-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
聯(lián)立①②③得：L=5m
（2）要使小球不脫離第三圓軌道，應(yīng)滿足小球能通過第三圓軌道最高點(diǎn)，或滿足通過第二圓軌道最高點(diǎn)并且在第三圓軌道上升的最大高度h≤R₃．
設(shè)初速度v₀=v₀₁時(shí)恰好通過第三圓軌道最高點(diǎn)，此時(shí)速度為v₃，則有：mg=m$\frac{{v}_{3}^{2}}{{R}_{3}}$
由動(dòng)能定理得：
-μmg（3L）-mg•2R₃=$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v₀₁=10$\sqrt{3}$m/s
設(shè)初速度v₀=v₀₂時(shí)恰好通過第二圓軌道最高點(diǎn)，則有：
mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$
由動(dòng)能定理得：
-μmg（2L）-mg•2R₂=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v₀₂=10$\sqrt{2}$m/s
設(shè)初速度v₀=v₀₃時(shí)通過第二圓軌道最高點(diǎn)并恰好能上升到達(dá)第三圓軌道h=R₃處，則
-mgh-μmg（3L）=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v₀₃=$\sqrt{210}$m/s
綜上所述，要使小球不脫離第三圓軌道，應(yīng)滿足：v₀≥10$\sqrt{3}$m/s或10$\sqrt{2}$m/s≤v₀≤$\sqrt{210}$m/s．
答：（1）如果小球恰能通過第一個(gè)和第二個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)，兩圓軌道間距L應(yīng)是5m．
（2）小球在A點(diǎn)的初速度滿足的條件是：v₀≥10$\sqrt{3}$m/s或10$\sqrt{2}$m/s≤v₀≤$\sqrt{210}$m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合運(yùn)用了動(dòng)能定理和牛頓第二定律，關(guān)鍵要把握豎直平面圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的臨界條件，運(yùn)用動(dòng)能定理解題注意要合理地選擇研究的過程，列表達(dá)式求解．