14.過山車是游樂場中常見的設(shè)施.如圖是一種過山車的簡易模型,它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的三個圓形軌道組成,B、C、D分別是三個圓形軌道的最低點(diǎn),設(shè)AB=BC=CD=L,半徑R1=3.0m、R2=2.0m、R3=3.0m.一個質(zhì)量為m=1.0kg的小球(視為質(zhì)點(diǎn)),從軌道的左側(cè)A點(diǎn)以某一初速度沿軌道向右運(yùn)動,小球與水平軌道間的動摩擦因數(shù)μ=0.5,圓形軌道是光滑的,圓形軌道間不相互重疊,條件滿足可從第一圓軌道運(yùn)動到第二、第三圓軌道.重力加速度取g=10m/s2,計(jì)算結(jié)果可用根式表示,試求:
(1)如果小球恰能通過第一個和第二個圓形軌道的最高點(diǎn),兩圓軌道間距L應(yīng)是多少?
(2)如果L取第一問結(jié)果,保證小球在運(yùn)動過程中不脫離第三個圓形軌道,求小球在A點(diǎn)的初速度滿足的條件.

分析 (1)小球恰好通過圓軌道最高點(diǎn)時,由重力提供向心力,由牛頓第二定律求出小球通過兩個圓軌道最高點(diǎn)的速度,再由動能定理求L.
(2)小球在運(yùn)動過程中不脫離第三個圓形軌道,有兩種可能:一、小球在第三圓軌道中做完整的圓周運(yùn)動.二、小球在下半圓內(nèi)運(yùn)動.根據(jù)牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的臨界速度,由動能定理求初速度的范圍.

解答 解:(1)設(shè)恰好通過第一圓軌道最高點(diǎn)速度為v1,恰好通過第二圓軌道最高點(diǎn)速度為v2,則有:
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$,
mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$ 
小球由第一圓軌道最高點(diǎn)到第二圓軌道最高點(diǎn)過程有:
mg(2R1-2R2)-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
聯(lián)立①②③得:L=5m
(2)要使小球不脫離第三圓軌道,應(yīng)滿足小球能通過第三圓軌道最高點(diǎn),或滿足通過第二圓軌道最高點(diǎn)并且在第三圓軌道上升的最大高度h≤R3
設(shè)初速度v0=v01時恰好通過第三圓軌道最高點(diǎn),此時速度為v3,則有:mg=m$\frac{{v}_{3}^{2}}{{R}_{3}}$
由動能定理得:
-μmg(3L)-mg•2R3=$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得:v01=10$\sqrt{3}$m/s
設(shè)初速度v0=v02時恰好通過第二圓軌道最高點(diǎn),則有:
mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$
由動能定理得:
-μmg(2L)-mg•2R2=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得:v02=10$\sqrt{2}$m/s
設(shè)初速度v0=v03時通過第二圓軌道最高點(diǎn)并恰好能上升到達(dá)第三圓軌道h=R3處,則
-mgh-μmg(3L)=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得:v03=$\sqrt{210}$m/s
綜上所述,要使小球不脫離第三圓軌道,應(yīng)滿足:v0≥10$\sqrt{3}$m/s或10$\sqrt{2}$m/s≤v0≤$\sqrt{210}$m/s.
答:(1)如果小球恰能通過第一個和第二個圓形軌道的最高點(diǎn),兩圓軌道間距L應(yīng)是5m.
(2)小球在A點(diǎn)的初速度滿足的條件是:v0≥10$\sqrt{3}$m/s或10$\sqrt{2}$m/s≤v0≤$\sqrt{210}$m/s.

點(diǎn)評 本題綜合運(yùn)用了動能定理和牛頓第二定律,關(guān)鍵要把握豎直平面圓周運(yùn)動最高點(diǎn)的臨界條件,運(yùn)用動能定理解題注意要合理地選擇研究的過程,列表達(dá)式求解.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中物理 來源: 題型:填空題

4.真空中有A、B兩個點(diǎn)電荷,
(1)A的電量是B的3倍,則A對B的庫侖力是B對A的庫侖力的1倍.
(2)A、B的電量均增加為原來的3倍,距離不變,則其間庫侖力變?yōu)樵瓉淼?倍.
(3)A的電量不變,B的電量變?yōu)樵瓉淼?倍,欲使相互作用力不變,A、B間距應(yīng)為原來的3倍.
(4)A、B間距增為原來的3倍,帶電量均不變,則相互作用力變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{9}$倍.

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5.真空中存在空間范圍足夠大的、水平向右的勻強(qiáng)電場.在電場中,若將一個質(zhì)量為m、帶正電的小球由靜止釋放,運(yùn)動中小球的速度與豎直方向夾角為37°(取sin37°=0.6,cos37°=0.8).現(xiàn)將該小球從電場中某點(diǎn)以初速度υ0豎直向上拋出.求運(yùn)動過程中
(1)小球受到的電場力的大小及方向;
(2)小球從拋出點(diǎn)至最高點(diǎn)的電勢能變化量;
(3)小球再回到與拋出點(diǎn)同一水平面時距離拋出點(diǎn)多遠(yuǎn).

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2.鐵路在彎道處的內(nèi)外軌道高度是不同的,已知內(nèi)外軌道所在平面與水平面成θ,如圖所示,水平彎道處的圓弧半徑為R,若質(zhì)量為m的火車以大于$\sqrt{Rgtanθ}$的速度勻速率轉(zhuǎn)彎時,下列說法正確的是( 。
A.內(nèi)軌對內(nèi)側(cè)車輪輪緣有擠壓
B.外軌對外側(cè)車輪輪緣有擠壓R
C.這時鐵軌對火車的支持力等于$\frac{mg}{cosθ}$
D.這時鐵軌對火車的作用力等于mgcosθ

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9.如圖所示,固定的斜面傾角θ=37°,質(zhì)量為m=5kg的物塊在斜面頂端由靜止釋放,到A點(diǎn)時下滑距離為2m,已知物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ=0.5,g=10m/s2,由初始位置到達(dá)A點(diǎn)過程中重力的平均功率為6$\sqrt{10}$W,滑到A點(diǎn)時重力的瞬時功率為12$\sqrt{10}$W.(sin37°=0.6)

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19.一輛值勤的警車停在公路當(dāng)警員發(fā)現(xiàn)從他旁邊以v=8m/s的速度勻速行駛的貨車有違章行為時,決定去攔截,經(jīng)2.5s警車發(fā)動起來,以a=2m/s2加速度勻加速開出維持勻加速運(yùn)動,能達(dá)到的最大速度為180km/h,
試問:
(1)警車達(dá)到最大速度要多長時間?
(2)警車要多長時間才能追上違章的貨車?
(3)在警車追上貨車之前,兩車間的最大距離是多少?

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科目:高中物理 來源: 題型:填空題

6.一根長度為l的直導(dǎo)體棒在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中沿垂直于磁場方向平動,導(dǎo)體棒運(yùn)動方向恰與導(dǎo)體棒垂直.若要使導(dǎo)體棒兩端的電勢差每秒均勻增加U,則導(dǎo)體棒做切割磁感線運(yùn)動的加速度a=$\frac{U}{Bl}$.

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科目:高中物理 來源: 題型:選擇題

3.木塊在水平恒力F作用下沿水平路面由靜止出發(fā)前進(jìn)了s,隨即撤去此恒力,木塊又沿原方向前進(jìn)了2s才停下來.設(shè)木塊運(yùn)動的全過程中地面情況相同,則摩擦力f和木塊獲得的最大動能Em為( 。
A.f=$\frac{1}{2}$F,Em=$\frac{Fs}{2}$B.f=$\frac{1}{2}$F,Em=FsC.f=$\frac{1}{3}$F,Em=$\frac{2Fs}{3}$D.f=$\frac{2}{3}$F,Em=$\frac{1}{3}$Fs

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4.有兩個質(zhì)量不同的小球A、B,從離地相同高度處以相同的速率分別沿水平方向和豎直向上方向拋出,不計(jì)空氣阻力,則下列說法正確的是( 。
A.落地前瞬間,兩小球的速度大小一定相同
B.從拋出到落地,重力對A、B小球做的功一樣多
C.落地前瞬間,重力對兩小球的瞬時功率一定相同
D.從拋出到落地,重力對兩小球做的平均功率一定相同

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