Question

14．如圖所示，質(zhì)量為m=5kg的長(zhǎng)木板放在水平地面上，在木板的最右端放一質(zhì)量也為m=5kg的物塊A．木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.3，物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.2．現(xiàn)用一水平力F=60N作用在木板上，使木板由靜止開始勻加速運(yùn)動(dòng)．經(jīng)過t=1s，撤去拉力．設(shè)物塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力（g取10m/s²）求：
（1）撤去拉力時(shí)，木板的速度大小．
（2）要使物塊不從木板上掉下，木板的長(zhǎng)度至少多大．
（3）在滿足（2）的條件下，物塊最終將停在距板右端多遠(yuǎn)處．

Answer 1

分析 （1）對(duì)整體運(yùn)用牛頓第二定律，求出加速度，判斷物塊與木板是否相對(duì)滑動(dòng)，對(duì)物塊和系統(tǒng)分別運(yùn)用動(dòng)量定理求出拉力撤去時(shí)，長(zhǎng)木板的速度；
（2）從撤去拉力到達(dá)到共同速度過程，對(duì)物塊和長(zhǎng)木板分別運(yùn)用動(dòng)量定理求出撤去拉力后到達(dá)到共同速度的時(shí)間${t}_{1}^{\;}$，分別求出撤去拉力前后物塊相對(duì)木板的位移，從而求出木板的長(zhǎng)度
（3）對(duì)木板和物塊，根據(jù)動(dòng)能定理求出物塊和木板的相對(duì)位移，再由幾何關(guān)系求出最終停止的位置．

解答 解：（1）若在時(shí)間t=1s內(nèi)，物塊與長(zhǎng)木板一起運(yùn)動(dòng)，加速度為a，則有：
$F-2{μ}_{1}^{\;}mg=2ma$…①
物塊受合外力$f=ma＞{μ}_{2}^{\;}mg$…②
說明物塊在長(zhǎng)木板上發(fā)生了相對(duì)滑動(dòng)，設(shè)撤去F時(shí)，長(zhǎng)木板的速度為${v}_{1}^{\;}$，滑塊速度為${v}_{2}^{\;}$，由動(dòng)量定理可知：
對(duì)物塊，有${μ}_{2}^{\;}mgt=m{v}_{2}^{\;}$…③
對(duì)系統(tǒng)，有$（F-2{μ}_{1}^{\;}mg）t=m{v}_{1}^{\;}+m{v}_{2}^{\;}$…④
代入數(shù)據(jù)解得：${v}_{1}^{\;}=4m/s$，${v}_{2}^{\;}=2m/s$
拉力撤去時(shí)，長(zhǎng)木板的速度大小為4m/s
（2）設(shè)撤去拉力后，經(jīng)時(shí)間${t}_{1}^{\;}$，兩者獲得共同速度為v，由動(dòng)量定理可知，
對(duì)物塊，有${μ}_{2}^{\;}mg{t}_{1}^{\;}=mv-m{v}_{2}^{\;}$…⑤
對(duì)長(zhǎng)木板，有$-2{μ}_{2}^{\;}mg{t}_{1}^{\;}-{μ}_{1}^{\;}mg{t}_{1}^{\;}=mv-m{v}_{1}^{\;}$…⑥
將${v}_{1}^{\;}$和${v}_{2}^{\;}$的數(shù)值代入解得：${t}_{1}^{\;}=0.2s$，v=2.4m/s
在t=1s內(nèi)，物塊相對(duì)于長(zhǎng)木板的位移${s}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}-{v}_{2}^{\;}}{2}t=1m$…⑦
在t=0.2s內(nèi)，物塊相對(duì)于長(zhǎng)木板的位移${s}_{2}^{\;}=（{v}_{1}^{\;}-{v}_{2}^{\;}）\frac{{t}_{1}^{\;}}{2}=0.2m$…⑧
木板的長(zhǎng)度最小值為$L={s}_{1}^{\;}+{s}_{2}^{\;}=1.2m$
（3）滑塊與木板有了共同速度后，在摩擦力作用下均做減速運(yùn)動(dòng)，物塊相對(duì)于木板向右運(yùn)動(dòng)，木板和物塊先后停下，設(shè)木板位移為${x}_{1}^{\;}$，物塊位移為${x}_{2}^{\;}$，由動(dòng)能定理得
$（{μ}_{2}^{\;}mg-2{μ}_{1}^{\;}mg）{x}_{1}^{\;}=0-\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$…⑨
$-{μ}_{2}^{\;}mg{x}_{2}^{\;}=0-\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$…⑩
這段時(shí)間內(nèi)物塊相對(duì)于木板的位移${s}_{3}^{\;}={x}_{2}^{\;}-{x}_{1}^{\;}=0.72m$
物塊最終離板右端的距離$d={s}_{1}^{\;}+{s}_{2}^{\;}-{s}_{3}^{\;}=0.48m$
答：（1）撤去拉力時(shí)，木板的速度大小4m/s．
（2）要使物塊不從木板上掉下，木板的長(zhǎng)度至少1.2m
（3）在滿足（2）的條件下，物塊最終將停在距板右端0.48m處．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合性很強(qiáng)，涉及到物理學(xué)中重要考點(diǎn)，如牛頓第二定律、動(dòng)能定理、動(dòng)量定理、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，關(guān)鍵是明確木板和木塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和受力特點(diǎn)．