Question

5．如圖所示，在豎直平面內(nèi)半徑為R的四分之一圓弧軌道AB、水平軌道BC與斜面軌道CD平滑連接在一起（軌道為光滑凹槽），斜面軌道足夠長．在圓弧軌道上靜止著N個半徑為r（r?R）的完全相同小球，小球恰好將圓弧軌道鋪滿，從最高點6C
A到最低點B依次標記為1、2、3…N．現(xiàn)將圓弧軌道末端B處的阻擋物拿走，N個小球由靜止開始沿軌道運動，不計摩擦與空氣阻力，下列說法正確的是（　　）

• A． N個小球在運動過程中始終不會散開
• B． 第N個小球在斜面上能達到的最大高度為R
• C． 如果斜面傾角為45°，小球不可以全部到達斜面上
• D． 第1個小球到達最低點的速度v＜$\sqrt{gR}$

Answer 1

分析 N個小球在BC和CD上運動過程中，相鄰兩個小球始終相互擠壓，把N個小球看成整體，則小球運動過程中只有重力做功，機械能守恒，弧AB的長度等于小球全部到斜面上的長度，而在圓弧上的重心位置比在斜面上的重心位置可能高也可能低，所以第N個小球在斜面上能達到的最大高度可能比R小，也可能比R大，小球整體的重心運動到最低點的過程中，根據(jù)機械能守恒定律即可求解第一個小球到達最低點的速度．

解答 解：A、在下滑的過程中，水平面上的小球要做勻速運動，而曲面上的小球要做加速運動，則后面的小球?qū)η懊娴男∏蛴邢蚯皦毫Φ淖饔�，所以小球之間始終相互擠壓，沖上斜面后后面的小球把前面的小球往上壓，所以小球之間始終相互擠壓，故N個小球在運動過程中始終不會散開，故A正確；
B、把N個小球看成整體，則小球運動過程中只有重力做功，機械能守恒，弧AB的長度等于小球全部到斜面上的長度，而在圓弧上的重心位置小于$\frac{R}{2}$，故第N個小球在斜面上能達到的最大高度不一定等于R，故B錯誤；
C、開始時刻N個小球整體的重心的高度不是$\frac{R}{2}$；如果斜面傾角為45°，假設(shè)小球全部到達斜面上，重心高度將大于$\frac{R}{2}$；故與機械能守恒定律矛盾，即小球不可以全部到達斜面上；故C正確；
D、小球整體的重心運動到最低點的過程中，根據(jù)機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv²=mg•$\frac{R}{2}$
解得：v=$\sqrt{gR}$，而第一個球在下滑過程中，始終受到第二個球?qū)λ�的壓力，所以�?個小球到達最低點的速度v′＜$\sqrt{gR}$，故D正確．
故選：ACD．

點評 本題主要考查了機械能守恒定律的應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析小球得受力情況，能把N個小球看成一個整體處理，難度適中．