Question

13．如圖所示，質量為1kg的小球用長為0.5m的細線懸掛在O點，O點距地面高度為5.4m．如果使小球繞OO′軸在水平面內做圓周運動，若細線受到拉力為12.5N時就會拉斷，求：
（1）當小球的角速度為多大時線將斷裂？
（2）小球落地點與懸點的水平距離．（g取10m/s²）

Answer 1

分析 （1）小球靠拉力和重力的合力提供向心力，根據(jù)幾何關系求出最大向心力，根據(jù)向心力公式求出最大角速度；
（2）繩斷裂后，小球做平拋運動，根據(jù)平拋運動的基本公式即可求解．

解答 解：（1）小球在水平面內做圓周運動時，由重力G和拉力F的合力提供向心力，當繩子拉力為12.5N時，向心力最大，則有：
F_合=$\sqrt{{F}^{2}-（mg）^{2}}$=$\sqrt{12．{5}^{2}-（1×10）^{2}}$=7.5N
合力與豎直方向之間的夾角：$cosθ=\frac{mg}{F}=\frac{1×10}{12.5}=\frac{4}{5}$
則：θ=37°
根據(jù)幾何關系得：r=L•sin37°=0.5×0.6=0.3m
根據(jù)向心力公式得：
F_合=mω²r
代入數(shù)據(jù)解得：ω=5rad/s
（2）繩斷裂后，小球做平拋運動，初速度為：v=ωr=5×0.3=1.5m/s
豎直方向下落的高度為：h=5.4-0.5×cos37°=5.0m
所以t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×5}{10}}=1$s
水平位移為：x₀=vt=1.5×1=1.5m
則：x=$\sqrt{{x}_{0}^{2}+{r}^{2}}=\sqrt{1．{5}^{2}+0．{3}^{2}}=\sqrt{2.34}$m
答：（1）當小球的角速度為5rad/s時，線將斷裂．
（2）斷裂后小球落地點與懸點的水平距離為$\sqrt{2.34}$m．

點評 該題將受力分析、水平面內的圓周運動與平拋運動結合在一起，屬于小綜合，解決本題的關鍵搞清小球做圓周運動向心力的來源，運用牛頓第二定律進行求解．