Question

1．如圖甲所示，彎曲部分AB和CD是兩個(gè)半徑都為0.3m的$\frac{1}{4}$圓弧軌道，中間的BC段是豎直的薄壁細(xì)圓管（細(xì)圓管內(nèi)徑略大于小球的直徑）軌道，分別與上下圓弧軌道相切連接，BC段的長(zhǎng)度L為0.2m．下圓弧軌道與水平軌道相切，其中D、A分別是上下圓弧軌道的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，整個(gè)軌道固定在豎直平面內(nèi)．有一質(zhì)量為0.3kg的小球以一定的速度沿水平軌道向右運(yùn)動(dòng)并從A點(diǎn)進(jìn)入圓弧，不計(jì)小球運(yùn)動(dòng)中的一切阻力，求：
（1）如果小球從D點(diǎn)以5m/s的速度水平飛出，求落地點(diǎn)與D點(diǎn)的水平距離；
（2）如果小球從D點(diǎn)以5m/s的速度水平飛出，求小球過(guò)圓弧A點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（3）如果在D點(diǎn)右側(cè)平滑連接一半徑R=0.4m的半圓形光滑軌道DEF，如圖乙所示，要使小球不脫離軌道運(yùn)動(dòng)，求小球在水平軌道上向右運(yùn)動(dòng)的速度大小范圍（計(jì)算結(jié)果可以用根式表示）．

Answer 1

分析 （1）小球從D點(diǎn)以5m/s的速度水平飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可求得落地點(diǎn)與D點(diǎn)的水平距離；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律可求得小球經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的速度，在A點(diǎn)，由合力提供向心力，由牛頓定律求小球過(guò)圓弧A點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（3）要使小球不脫離軌道，則小球可能由C點(diǎn)返回A點(diǎn)，也可能超過(guò)D點(diǎn)后沿DEF軌道回到A點(diǎn)，根據(jù)臨界條件和機(jī)械能守恒定律可求得初速度的范圍．

解答 解：（1）小球從D點(diǎn)以5m/s的速度水平飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得：
   h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
據(jù)題 h=2R+L=2×0.3m+0.2m=0.8m
代入數(shù)據(jù)解得 t=0.4s
所以落地點(diǎn)與D點(diǎn)的水平距離 x=v_Dt=5×0.4m=2m； 
（2）由A到D的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律可得：
   mgh+$\frac{1}{2}$mv_D²=$\frac{1}{2}$mv_A²
在A點(diǎn)，由牛頓第二定律可得：
   N-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$；
聯(lián)立解得 N=44N
由牛頓第三定律知，小球過(guò)圓弧A點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力 N′=N=44N
（3）計(jì)論一：
小球進(jìn)入軌道最高運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，之后原路返回，由機(jī)械能守恒定律，有：
   mg（R+L）=$\frac{1}{2}$mv₁²
得 v₁=$\sqrt{10}$m/s
討論二：小球進(jìn)入軌道后恰好能通過(guò)圓弧最高點(diǎn)D，之后沿DEF運(yùn)動(dòng)而不脫離軌道，在D點(diǎn)，有
   mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
其中R=0.4m
從A到D由機(jī)械能守恒定律可得：
有：mgh+$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv₂²
得 v₂=2$\sqrt{5}$m/s
所以要使小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能不脫離軌道，初速度大小的范圍為：v₁≤$\sqrt{10}$m/s或v₂≥2$\sqrt{5}$m/s
答：
（1）如果小球從D點(diǎn)以5m/s的速度水平飛出，落地點(diǎn)與D點(diǎn)的水平距離為2m
（2）如果小球能從D點(diǎn)以5m/s的速度水平飛出，小球過(guò)圓弧A點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是44N．
（3）要使小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能不脫離軌道，初速度大小的范圍是v₁≤$\sqrt{10}$m/s或v₂≥2$\sqrt{5}$m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用以及平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的應(yīng)用，要注意正確分析物理過(guò)程，正確進(jìn)行受力分析，再通過(guò)平衡條件等選擇正確的物理規(guī)律列式求解．關(guān)鍵要注意正確選擇物理過(guò)程和規(guī)律．