Question

2．質(zhì)量為m的質(zhì)點在豎直平面xOy直角坐標系的原點O處靜止釋放，在運動過程中始終受到xOy豎直平面內(nèi)除重力外的另一外力F作用，該力的大小為F=kv_t，其中k為常系數(shù)，v_t為t時刻質(zhì)點的速率，F(xiàn)方向始終是質(zhì)點的速度方向逆時針旋轉(zhuǎn)90°，不計其它一切阻力．
（1）在答卷上定性畫出質(zhì)點運動軌跡．
（2）若已知質(zhì)點在最低點的曲率半徑為ρ，則k=$2\sqrt{\frac{{m}^{2}g}{ρ}}$（用m、g、ρ表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)質(zhì)點受力的特點進行分析即可；
（2）在最低點質(zhì)點受到的合外力提供向心力，由牛頓第二定律結(jié)合一元二次方程的極值即可求出．

解答 解：（1）設(shè)質(zhì)點的質(zhì)量為m，質(zhì)點從坐標原點是否后，只受到重力的作用，開始向下運動；向下運動開始后，質(zhì)點又受到xOy豎直平面內(nèi)除重力外的另一外力F作用沿逆時針的方向發(fā)生偏轉(zhuǎn)．質(zhì)點在運動的過程中只有重力做功，速度逐漸增大．其中沿豎直方向在最初的一段時間內(nèi)做加速運動，速度越來越大，則水平方向受到力F的沿水平方向的分力的作用，也越來越大，所以質(zhì)點的速度越來越大，受到的力F也越來越大，而且隨水平方向的分速度的增大，F(xiàn)沿豎直方向的分力增大，所以沿豎直方向質(zhì)點先做加速度越來越小的加速運動，是正方形的速度最大后，由于重力繼續(xù)做功，所以質(zhì)點的速度仍然會增大，所以力F仍然增大，所以力F沿豎直方向的分力仍然增大，則質(zhì)點沿豎直方向受到的合外力變成向上，質(zhì)點做加速度越來越大的減速運動，到達最低點時，質(zhì)點的速度達到最大，受到的力F向上的分力也到達最大，此時合外力的方向仍然向上，質(zhì)點將向上發(fā)生彎曲，向上運動的過程與向下運動的過程有對稱性，到達與O等高的點（x軸）后的速度恰好為0．
質(zhì)點到達x軸后速度為0，由于受到重力的作用，所以仍然開始向下運動，此后的運動與從O點開始的運動相似，所以其軌跡如圖；

（2）質(zhì)點在最低點時受到的合外力的方向向上，由合外力提供向上的向心力，由牛頓第二定律可得：
$F-mg=\frac{m{v}_{t}^{2}}{ρ}$
其中：F=kv_t，
聯(lián)立可得：k=$2\sqrt{\frac{{m}^{2}g}{ρ}}$
故答案為：（1）如圖；（2）$2\sqrt{\frac{{m}^{2}g}{ρ}}$

點評 該題為物理競賽的題目，在高三的學生可以做，其運動的軌跡如帶電粒子在復合場中運動的題目類似，可以將公式F=kv_t，與公式f=qvB比較即可畫出質(zhì)點運動的軌跡．