Question

2．2013年12月2日，“嫦娥三號”發(fā)射，經(jīng)過中途固定修正和近月制動之后，“嫦娥三號”探測器進入繞月的圓形軌道Ⅰ，如圖所示．12月12日衛(wèi)星成功變軌，進入遠月點P、近月點Q的橢圓形軌道Ⅱ，如圖所示．已知引力常量為G，月球的質(zhì)量為M，月球的半徑為R，“嫦娥三號”在軌道I上運動時的質(zhì)量為m，P、Q點距月球表面的高度分別為h₁、h₂．
（1）求“嫦娥三號”在圓形軌道I上運動的速度大�。�
（2）已知“嫦娥三號”與月心的距離為r時，引力勢能為E_p=-$\frac{GMm}{r}$（取無窮遠處引力勢能為零），其中m為此時“嫦娥三號”的質(zhì)量．若“嫦娥三號”在軌道II上運動的過程中，動能和引力勢能相互轉(zhuǎn)化，它們的總量保持不變．已知“嫦娥三號”經(jīng)過Q點的速度大小為v，請根據(jù)能量守恒定律求它經(jīng)過P點時的速度大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{{{（R+{h_1}）}^2}}}=m\frac{{{v_1}^2}}{{R+{h_1}}}$，化簡可得嫦娥三號在軌道I上做勻速圓周運動的速度．
（2）“嫦娥三號”在軌道II上運動的過程中機械能守恒定律，有$-\frac{GMm'}{{R+{h_1}}}+\frac{1}{2}m'{v_P}{'^2}=-\frac{GMm'}{{R+{h_2}}}+\frac{1}{2}m'{v^2}$，化簡可得Q點的速度．

解答 解：（1）“嫦娥三號”在軌道I上做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力有：
$G\frac{Mm}{{{{（R+{h_1}）}^2}}}=m\frac{{{v_1}^2}}{{R+{h_1}}}$
解得：${v_1}=\sqrt{\frac{GM}{{R+{h_1}}}}$
（2）“嫦娥三號”在軌道II上運動的過程中，由機械能守恒定律可知，P點的機械能等于Q點的機械能，則有：
$-\frac{GMm'}{{R+{h_1}}}+\frac{1}{2}m'{v_P}{'^2}=-\frac{GMm'}{{R+{h_2}}}+\frac{1}{2}m'{v^2}$
解得：${v_P}'=\sqrt{{v^2}-\frac{2GM}{{R+{h_2}}}+\frac{2GM}{{R+{h_1}}}}$
答：（1）“嫦娥三號”在圓形軌道I上運動的速度大小是$\sqrt{\frac{GM}{R+{h}_{1}}}$；
（2）它經(jīng)過P點時的速度大小是$\sqrt{{v}^{2}-\frac{2GM}{R+{h}_{2}}+\frac{2GM}{R+{h}_{1}}}$．

點評 本題涉及到多個知識點，既要用到萬有引力提供向心力這個關(guān)系，還要用到機械能守恒，運算復雜，計算時要小心謹慎．