1．式子的值為          

2．統(tǒng)計(jì)某校800名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末成績(jī)，得到頻率分布直方圖

如圖示，若考試采用100分制，并規(guī)定不低于60分為及格，

則及格率為   ▲    ．

3． 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，那么這個(gè)幾何體的體積是   ▲    ．

4．如圖所示的流程圖輸出的結(jié)果是   ▲    ．

5．函數(shù)y＝sinx＋cosx，x∈[，π]的值域是   ▲    ．

6．設(shè)變量x，y滿足約束條件則z＝2x＋3y的最大值是   ▲    ．

7．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為___________________．

．

8．已知函數(shù)y＝f (x)的定義域?yàn)镽，f (27)＝3，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x₁，x₂，必有f (x₁?x₂)＝f (x₁)? f (x₂)  成立，寫出滿足條件的一個(gè)函數(shù)為   ▲    ．

9．定義在R上的奇函數(shù)f (x)，已知x＞0時(shí)，f (x)＝log₂x，則方程f (x)＝1的解集是   ▲    ．

10．命題“ax²－2ax ＋ 3 > 0恒成立”是假命題, 則實(shí)數(shù)的取值范圍是   ▲    ．

11．等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q≠0），其前n項(xiàng)和為S_n，若S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列，則q³＝   ▲    ．

12．已知點(diǎn)G是△ABC的重心，若∠A＝120°，→?→＝－2，則|→|的最小值是   ▲    ．

13．雙曲線－y²＝1(n＞1)的兩焦點(diǎn)為F₁、F₂，P在雙曲線上且滿足PF₁＋PF₂＝2，則△PF₁F₂的面積為   ▲    ．

14．函數(shù)f (x)是定義在[0，1]上的函數(shù)，滿足f (x)＝2f ()，且f (1)＝1，在每一個(gè)區(qū)間(，](k＝1，2，3，…)上，y＝f (x)的圖象都是斜率為同一常數(shù)m的直線的一部分，記直線x＝，x＝，x軸及函數(shù)y＝f (x)的圖象圍成的梯形面積為a_n（n＝1，2，3，…），則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為

      ▲    ．（用最簡(jiǎn)形式表示）

15．（本小題滿分14分）如圖，A，B是圓O上的兩點(diǎn)，點(diǎn)C

是圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，已知A（－3，4），且點(diǎn)B在

逆弧CA上，△AOB為正三角形．

（1）求cos∠COA；

（2）求BC²的值．

16．（本小題滿分14分）如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底

面ABCD，AC⊥CD，∠DAC＝60°，AB＝BC＝AC，E是

PD的中點(diǎn)，F(xiàn)為ED的中點(diǎn)．

 （1）求證：平面PAC⊥平面PCD；

 （2）求證：CF∥平面BAE．

17．（本小題滿分14分）甲方是一農(nóng)場(chǎng)，乙方是一工廠. 由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源，因此甲方  有權(quán)向乙方索賠以彌補(bǔ)經(jīng)濟(jì)損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤(rùn)x（元）與年產(chǎn)量t（噸）滿足函數(shù)關(guān)系x＝2000．若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元（以下稱s為賠付價(jià)格）．

   （1）將乙方的年利潤(rùn)w（元）表示為年產(chǎn)量t（噸）的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤(rùn)的年產(chǎn)量；

   （2）甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額y＝0.002t²（元），在乙方按照獲得最大利潤(rùn)的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向乙方要求的賠付價(jià)格s是多少？

18．（本小題滿分16分）如圖，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)

的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂和短軸的一個(gè)端點(diǎn)A構(gòu)成等邊三角形，

點(diǎn)(，)在橢圓C上，直線l為橢圓C的左準(zhǔn)線．

（1）求橢圓C的方程；

（2）點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，PQ ⊥l，垂足為Q．是否存在點(diǎn)P，使得△F₁PQ為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

19．（本小題滿分16分）已知k為正常數(shù)，方程x²－kx＋u＝0有兩個(gè)正數(shù)解x₁，x₂．

（1）求實(shí)數(shù)u的取值范圍；

   （2）求使不等式(－x₁) (－x₂)≥(－)²恒成立的k的取值范圍．

20．（本小題滿分16分）設(shè)數(shù)列的所有項(xiàng)都是不等于1的正數(shù)，前n項(xiàng)和為，已知點(diǎn)在直線上，（其中，常數(shù)k≠0，且k≠1），又.

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）如果，求實(shí)數(shù)，的值；

（Ⅲ）如果存在，使得點(diǎn)和都在直線上，試判斷，是否存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

江蘇省南京市江寧高級(jí)中學(xué)2009屆高三第二次階段性測(cè)試答卷

1．                　     2．                        3．               

4．                　     5．                        6．                

7．                　     8．                        9．               

10．                　    11．                       12．               

13．                　     14．                        

15．

16．

17．

18．

19．

20．

 
附加題部分

1．選修4－1：幾何證明選講

如圖，在△ABC中，∠A＝60°，AB＞AC，點(diǎn)O是外心，兩條高 BE，CF交于H點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在線段BH，F(xiàn)H上，且滿足BM＝CN，求的值．

2．選修4－2：矩陣與變換

已知矩陣A＝，若矩陣A屬于特征值6的一個(gè)特征向量為α₁＝，屬于特征值1的一個(gè)特征向量為α₂＝．求矩陣A，并寫出A的逆矩陣．

3．選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

   把參數(shù)方程（t是參數(shù)）化為普通方程，并說明它表示什么曲線．

4．選修4－5：不等式選講

已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＞b＞c，且有a＋b＋c＝1，a²＋b²＋c²＝1．

   求證：1＜a＋b＜．

5．某電視臺(tái)的一個(gè)智力游戲節(jié)目中，有一道將四本由不同作者所著的外國(guó)名著A、B、C、D與它們的作者連線的題目，每本名著只能與一名作者連線，每名作者也只能與一本名著連線．每連對(duì)一個(gè)得3分，連錯(cuò)得－1分，一名觀眾隨意連線，他的得分記作ξ．

(1)求該觀眾得分ξ為非負(fù)的概率；

(2)求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

6．如圖，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC為直角的等腰三角形，AC＝2，BB₁＝3，D為A₁C₁的中點(diǎn)，E為B₁C的中點(diǎn)．

(1)求直線BE與A₁C所成的角的余弦；

(2)在線段AA₁上取一點(diǎn)F，問AF為何值時(shí)，CF⊥平面B₁DF？

江蘇省南京市江寧高級(jí)中學(xué)2009屆高三

第二次階段性測(cè)試答案

1．-2    2．0.8      3．30     4．192     5．[－，2]    6．18     7．（0,1）8．y＝  9．{2，－}   10．(－∞，0)∪[3，＋∞）  11．－      12．

13．1     14．

15．（1）因?yàn)锳（－3，4），

所以cos∠COA＝＝－；………………………………………………………4分

（2）sin∠COA＝＝；  …………………………………………………………6分

   所以cos∠BOC＝cos(∠COA－)＝cos∠COA cos＋sin∠COA sin

                 ＝－×＋×＝．…………………………………………10分

在△OBC中，由余弦定理得：

BC²＝OB²＋OC²－2 OB?OC?cos∠BOC＝5²＋5²－2×5×5×

＝65－20． ……………………………………………………………………………14分

16．（1）因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，…………………………………………………2分

又AC⊥CD，且AC∩PA＝A，

        所以CD⊥平面PAC，……………………………………………………………………4分

又CDÌ平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD．………………………………………6分

   （2）解法一：取AE中點(diǎn)G，連接FG，B G．

因?yàn)镕為ED的中點(diǎn)，所以FG∥AD．…………………………8分

在△ACD中，AC⊥CD，∠DAC＝60°，

所以AC＝AD，所以BC＝AD．

在△ABC中，AB＝BC＝AC，所以∠ACB＝60°，

從而∠ACB＝∠DAC，

所以AD∥BC．………………………………………………………………………………11分

綜上，F(xiàn)G∥BC，F(xiàn)G＝BC，四邊形FGBC為平行四邊形，

所以CF∥BG．

又BGÌ平面BAE，CFË平面BAE，所以CF∥平面BAE．  ……………………………14分

解法二：延長(zhǎng)DC與AB交于G點(diǎn)，連接EG．

因?yàn)樵凇鰽BC中，AB＝BC＝AC，所以∠CAB＝60°,

所以∠CAB＝∠ACD，

即AC為∠DAG的平分線．…………………………………9分

又AC⊥CD，所以AG＝AD，C為DG中點(diǎn)，

又F為ED的中點(diǎn)．

所以CF∥EG．……………………………………………… 12分

根據(jù)EGÌ平面BAE，CFË平面BAE，所以CF∥平面BAE．……………………………14分

16．(1)解法一：因?yàn)橘r付價(jià)格為s元／噸，所以乙方的實(shí)際年利潤(rùn)為：

w＝2000－st（t≥0）．……………………………………………………2分

因?yàn)閣＝2000－st＝－s(－)²＋，…………………………………………4分

所以當(dāng)t＝ ()²時(shí)，w取得最大值．

　　    所以乙方取得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量t＝ ()² (噸)．…………………………………6分

　　解法二：因?yàn)橘r付價(jià)格為s元／噸，所以乙方的實(shí)際年利潤(rùn)為：

　　　　w＝2000－st（t≥0）．…………………………………………………………2分

由w′＝－s =，令w′＝0得t＝t₀=()²．……………………………4分

　　　　當(dāng)t＜t₀時(shí)，w′＞0；當(dāng)t＞t₀時(shí)，w′＜0，所以t＝t₀時(shí)，w取得最大值．

　　　　因此乙方取得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量t₀＝()² (噸)．…………………………………6分

(2)設(shè)甲方凈收入為v元，則v＝st－0.002t²．………………………………………………8分

　將t＝()²代入上式，得到甲方凈收入v與賠付價(jià)格s之間的函數(shù)關(guān)系式：

v＝－．         ………………………………………………10分

　　　　又v′＝－＋＝

　　　　令v′＝0，得s＝20．

　　　　當(dāng)s＜20時(shí)，v′＞0；當(dāng)s＞20時(shí)，v′＜0，所以s＝20時(shí)，v取得最大值．…………13分

　　　　因此甲方向乙方要求賠付價(jià)格s＝20 (元／噸)時(shí)，獲最大凈收入．　………………14分

17．（1）橢圓C的方程為＋＝1(a＞b＞0)，由已知△AF₁F₂為正三角形，所以

      sin∠AF₁O＝＝，所以＝，＝．

      設(shè)b²＝3λ，a²＝4λ，橢圓方程為＋＝λ．

橢圓經(jīng)過點(diǎn)(，)，解得λ＝1，所以橢圓C的方程為 ＋ ＝1．……………6分

（2）由＝e＝，得PF₁＝PQ．所以PF₁≠PQ．……………………………………………8分

①若PF₁＝F₁Q，則PF₁＋F₁Q＝PQ，與“三角形兩邊之和大于第三邊”矛盾，所以PF₁不可能與PQ相等．…………………………………………………………………………………10分

②若F₁Q＝PQ，設(shè)P(x，y)(x≠±2)，則Q(－4，y)．∴＝4＋x，∴9＋y²＝16＋8x＋x²，又由＋＝1，得y²＝3－x²．∴9＋3－x²＝16＋8x＋x²，∴x²＋8x＋4＝0．∴7x²＋32x＋16＝0．∴x＝－或x＝－4．因?yàn)?i>x∈(－2，2)，所以x＝－．所以P(－，±)．……………14分

綜上，存在點(diǎn)P(－，±)，使得△PF₁Q為等腰三角形．……………………………16分

19．（1）由于方程x²－kx＋u＝0有兩個(gè)正數(shù)解x₁，x₂．

     所以…………………………………………………………………………3分

解得0＜u≤，即實(shí)數(shù)u的取值范圍是(0，]；……………………………………………6分

（2）(－x₁) (－x₂)＝x₁x₂＋－＝u－＋2．

令f (u)＝u－＋2（u＞0），所以f ′(u)＝1＋，………………………………………8分

（i）若k≥1，因?yàn)?＜u≤，所以f ′(u)＞0，從而f (u)在(0，]為增函數(shù)，所以

u－＋2≤f ()＝－＋2＝(－)²，即(－x₁) (－x₂)≥(－)²不恒成立．…10分

（ii）若0＜k＜1，

  由f ′(u)＝1＋＝0，得u＝，

  當(dāng)u∈(0，)，f ′(u)＜0；當(dāng)u∈(，＋∞)，f ′(u)＞0，

  所以函數(shù)f (u)在(0，]上遞減，在[，＋∞)上遞增，………………………12分

要使函數(shù)f (u)在(0，]上恒有f (u)≥f ()，必有≥，

即k⁴＋16 k²－16≤0，…………………………………………………………………………14分

解得0＜k≤2．

       綜上，k的取值范圍是(0，2]．……………………………………………………16分

20．解：（Ⅰ）點(diǎn)，都在直線上，

，得．

常數(shù)，且，（非零常數(shù)），

數(shù)列是等比數(shù)列．                                      ………4分

（Ⅱ）由，得，

，得．

由在直線上，得，

令得（）．………10分

（Ⅲ）恒成立等價(jià)于，

  存在，使得和都在上，

  ，①

    ，②

①-②得：，

   易證是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則有，

，，

①+②得：，

又，

由，  得，

即：數(shù)列是首項(xiàng)為正，公差為負(fù)的等差數(shù)列，                                 ………13分

一定存在一個(gè)最小自然數(shù)M，使

   ，   即，

解得．

*，．

即存在自然數(shù)，其最小值為，使得當(dāng)時(shí)，恒成立． ………16分

B．附加題部分

1． 如圖在BE上取BK＝CH，連結(jié)OB、OC、OK，

由三角形的外心的性質(zhì)可知：∠BOC＝2∠A＝120°，

由三角形的垂心性質(zhì)可知：∠BHC＝180°－∠A＝120°，

所以∠BOC＝∠BHC，所以B、C、H、O四點(diǎn)共圓，∠OBH＝∠OCH，……………3分

又因?yàn)镺B＝OC，BK＝CH，所以△BOK≌△COH，

因?yàn)椤螧OK＝∠COH，OK＝OH，

所以∠KOH＝∠BOC＝120°，∠OKH＝∠OHK＝30°，………………………………6分

觀察△OKH，有：＝，則KH＝OH，

又因?yàn)锽M＝CN，BK＝CH，所以KM＝NH，所以MH＋NH＝MH＋KM＝KH＝OH，

故＝．…………………………………………………………………………8分

2．由矩陣A屬于特征值6的一個(gè)特征向量為α₁＝可得， ＝6，

即c＋d＝6；…………………………………………………………………………………2分

由矩陣A屬于特征值1的一個(gè)特征向量為α₂＝，可得 ＝，

即3c－2d＝－2，……………………………………………………………………………4分

解得即A＝，……………………………………………………………6分

A的逆矩陣是．…………………………………………………………………8分

3．解法一：由x＝，得x＝－1＋，即＝x＋1  ①，又＝y(tǒng)  ②，

②÷①得：t＝  ③，      ……………………………………………………3分

將③代入①得 x＋1＝，

整理得：x²＋＝1．   ……………………………………………………………………6分

因?yàn)閠²＋1≥1，所以x＝－1＋∈(－1，1]，

所求普通方程為x²＋＝1 (x≠－1) ．……………………………………………………8分

解法二：由x＝，①，y＝②，

①²＋()²得x²＋＝1．   ……………………………………………………………………6分

因?yàn)閠²＋1≥1，所以x＝－1＋∈(－1，1]，

所求普通方程為x²＋＝1 (x≠－1) ．………………………………………………………8分

4．因?yàn)閍＋b＝1－c，ab＝＝c²－c，

    所以a，b是方程x²－(1－c)x＋c²－c＝0的兩個(gè)不等實(shí)根，

則△＝(1－c)²－4(c²－c)＞0，得－＜c＜1，………………………………………………4分

而(c－a)(c－b)＝c²－(a＋b)c＋ab＞0，

即c²－(1－c)c＋c²－c＞0，得c＜0，或c＞，……………………………………………7分

所以－＜c＜0，即1＜a＋b＜．         ………………………………………………8分

5．（1）的可能取值為－4，0，4，12．  ……………………………………………………1分

P(ξ＝12)＝＝；………………………………………………………………………………3分

P(ξ＝4)＝＝＝；……………………………………………………………………………5分

P(ξ＝0)＝＝＝；…………………………………………………………………………7分

該同學(xué)得分非負(fù)的概率為P(ξ＝12)＋P(ξ＝4)＋P(ξ＝0)＝．………………………………8分

(2) P(ξ＝－4)＝＝．

ξ的分布列為:

ξ

－4

0

4

12

P

……………………………………………………………………………………………………………10分

數(shù)學(xué)期望Eξ＝－4×＋4×＋12×＝0．…………………………………………………………12分

6．(1)因?yàn)橹比�棱柱ABC－A₁B₁C₁中，BB₁⊥面ABC，∠ABC＝．

以B點(diǎn)為原點(diǎn)，BA、BC、BB₁分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，…………………2分

因?yàn)锳C＝2，∠ABC＝90º，所以AB＝BC＝，

從而B(0，0，0)，A(，0，0)，C(0，，0)，

B₁(0，0，3)，A₁(，0，3)，C₁(0，，3)，

D(，3)，E(0，)．

所以)．

而，

所以cosθ＝；………………………………………………………………5分

所以直線BE與A₁C所成的角的余弦為．……………………………………………………6分

(2)設(shè)AF＝x，則F(，0，x)，

，……………………………8分

＋x×0＝0，所以   ，………………………………………9分

要使得CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F，由＝2＋x(x－3)＝0，

有x＝1或x＝2，……………………………………………………………………………………11分

故當(dāng)AF＝1，或AF＝21時(shí)，CF⊥平面B₁DF．…………………………………………………12分