06 三角與向量

一、選擇題

1.(安徽2).若,,  則(  B  )

A.      (1,1)       B.(-1,-1)   C.(3,7)         D.(-3,-7)

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2.(安徽5).在三角形中,,則的大小為(  A  )

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A.                   B.         C.         D.

 

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3.(安徽8).函數(shù)圖像的對稱軸方程可能是(  D  )

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A.               B.        C.            D.

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4.(北京4)已知中,,,那么角等于(  C  )

試題詳情

A.           B.          C.         D.

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5.(福建7)函數(shù)y=cosx(x∈R)的圖象向左平移個單位后,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則g(x)的解析式為(  A )

A.-sinx            B.sinx          C.-cosx         D.cosx

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6.(福建8)在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若a2+c2-b2ac,則角B的值為( A  )

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A.             B.           C.     D.

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7.(廣東3)已知平面向量a=(1,2), b=(-2,m), 且ab, 則2a+3b=  ( B )

A.(-2,-4)                   B.(-3,-6)          C.(-4,-8)      D.(-5,-10)

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8.(廣東5)已知函數(shù)f(x)=(1+cos2x)sin3x,x∈R, 則f(x)是  ( D )

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 A.最小正周期為的奇函數(shù)                                B.最小正周期為的偶函數(shù)

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 C.最小正周期為的奇函數(shù)                               D.最小正周期為的偶函數(shù)

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9.(寧夏5)已知平面向量,垂直,

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(  A  )

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A.             B.             C.          D.

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10.(寧夏9)平面向量a,b共線的充要條件是(  D  )

A.a,b方向相同

B.a,b兩向量中至少有一個為零向量

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C.,

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D.存在不全為零的實數(shù),,

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11.(寧夏11函數(shù)的最小值和最大值分別為(  C  )

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A.           B.,           C.,         D.,

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12.(湖南7)在中,AB=3,AC=2,BC=,則 (  D   )

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A.        B.    C.          D.

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13.(江西6)函數(shù)是( A )

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A.以為周期的偶函數(shù)                    B.以為周期的奇函數(shù)

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C.以為周期的偶函數(shù)                    D.以為周期的奇函數(shù)

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14.(江西10)函數(shù)在區(qū)間內的圖象是( D )

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15.(遼寧5)已知四邊形的三個頂點,,且,則頂點的坐標為(  A  )

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A.           B.        C.             D.

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16.(遼寧8)將函數(shù)的圖象按向量平移得到函數(shù)的圖象,則(  A  )

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A.         B.             C.        D.

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17.(全國Ⅰ5) 在中,,.若點滿足,則=(  A  )

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A.              B.        C.        D.

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18.(全國Ⅰ6)是(  D  )

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A.最小正周期為的偶函數(shù)          B.最小正周期為的奇函數(shù)

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C.最小正周期為的偶函數(shù)           D.最小正周期為的奇函數(shù)

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19.(全國Ⅰ9)為得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖像(  C  )

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A.向左平移個長度單位                     B.向右平移個長度單位

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C.向左平移個長度單位            D.向右平移個長度單位

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20.(全國Ⅱ1)若是,則是(  C  )

A.第一象限角                  B. 第二象限角          C. 第三象限角          D. 第四象限角

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21.(全國Ⅱ10)函數(shù)的最大值為(  B  )

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A.1           B.              C.              D.2

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22.(山東8) 已知的三個內角的對邊,向量.若,且,則角的大小分別為(  C  )

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A.             B.            C.             D.

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23.(山東10) 已知,則的值是(   C  )

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A.           B.              C.        D.

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24.(四川3)設平面向量,則( A )

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。ǎ粒     。ǎ拢      (C)    。ǎ模

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25.(四川4)( D )

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 (A)     。ǎ拢     。ǎ茫    。ǎ模

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26.(四川7)的三內角的對邊邊長分別為,若,則( B )

試題詳情

。ǎ粒    (B)  。ǎ茫  。ǎ模

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27.(天津6) 把函數(shù)的圖象上所有的點向左平行移動個單位長度,再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變),得到的圖象所表示的函數(shù)是(  C  )

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A.          B.

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C.          D.

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28.(天津9) 設,,,則(  D  )

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A.              B.        C.              D.

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29.(浙江2)函數(shù)的最小正周期是 (  B  )

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    (A)         (B)           (C)         (D)

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30.(浙江7)在同一平面直角坐標系中,函數(shù)的圖象和直線的交點個數(shù)是  ( C )

 

(A)0        (B)1         (C)2          (D)4

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31.(重慶12)函數(shù)f(x)=(0≤x≤2)的值域是  (  C  )

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(A)[-]                                                     (B)[-]

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(C)[-]                                                     (D)[-]

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32.(湖北1).設 ( C  )

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A.            B.0               C.-3               D.-11

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33.(湖北7).將函數(shù)的圖象F向右平移個單位長度得到圖象F′,若F′的一條對稱軸是直線的一個可能取值是  (  A  )

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  A.             B.             C.          D.

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34.(陜西1) 等于(  B  )

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A.             B.         C.           D.

 

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二、填空題

1.(北京9)若角的終邊經過點,則的值為______________.

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2.(北京11)已知向量的夾角為,且,那么的值為________.

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3.(湖南11)已知向量,,則=_____________________.2

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4.(江蘇1)最小正周期為,其中,則          10

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5.(江蘇5)的夾角為,,則          7

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6.(江蘇13)若,則的最大值          

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7.(江西16)如圖,正六邊形中,有下列四個命題:

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A.

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B.

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C.

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D.

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其中真命題的代號是              (寫出所有真命題的代號).

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8.(遼寧16)設,則函數(shù)的最小值為          

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9.(全國Ⅱ13)設向量,若向量與向量共線,則     .2

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10.(上海5)若向量,滿足的夾角為,則    

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11.(天津14) 已知平面向量,,若,則         

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12.(浙江12)若,則_________。

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13.(浙江14)在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為、b、c ,若,則     。

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14.(浙江16)已知是平面內的單位向量,若向量滿足,則的取值范圍是          

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15.(湖北12).在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C所對的邊,已知 則A=            .

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16.(陜西13) 的內角的對邊分別為,

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,則      

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17.(陜西15) 關于平面向量.有下列三個命題:

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①若,則.②若,則

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③非零向量滿足,則的夾角為

其中真命題的序號為    .(寫出所有真命題的序號)

 

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三、解答題

1.(安徽17).(本小題滿分12分)

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已知函數(shù)

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(Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期和圖象的對稱軸方程

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(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的值域

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解:(1)

試題詳情

                   

試題詳情

                   

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(2)

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因為在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減,

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所以   當時,取最大值 1

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又  時,取最小值

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所以 函數(shù) 在區(qū)間上的值域為

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2.(北京15)(本小題共13分)

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已知函數(shù))的最小正周期為

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(Ⅰ)求的值;

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(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.

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解:(Ⅰ)

試題詳情

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因為函數(shù)的最小正周期為,且,

試題詳情

所以,解得

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(Ⅱ)由(Ⅰ)得

試題詳情

因為

試題詳情

所以,

試題詳情

所以

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因此,即的取值范圍為

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3.(福建17)(本小題滿分12分)

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已知向量,且

(Ⅰ)求tanA的值;

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(Ⅱ)求函數(shù)R)的值域.

解:(Ⅰ)由題意得

m?n=sinA-2cosA=0,

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因為cosA≠0,所以tanA=2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知tanA=2得

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因為xR,所以.

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時,f(x)有最大值,

當sinx=-1時,f(x)有最小值-3,

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所以所求函數(shù)f(x)的值域是

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4.(廣東16)(本小題滿分13分)

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已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A>0,0<<),xR的最大值是1,其圖像經過點M.

(1)     求f(x)的解析式;

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(2)     已知α,β,且f(α)=,f(β)=,求f(α-β)的值.

解:(1)依題意知 A=1

試題詳情

          ,   又  ;

試題詳情

                即  

試題詳情

         因此  ;

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     (2)   ,

試題詳情

              且

試題詳情

            ,

試題詳情

          

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5.(寧夏17)(本小題滿分12分)

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如圖,是等邊三角形,是等腰直角三角形,,,

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(Ⅰ)求的值;

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(Ⅱ)求

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解:(Ⅰ)因為,

試題詳情

所以

試題詳情

所以.???????????????????????????????????????????????? 6分

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(Ⅱ)在中,

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由正弦定理

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.  12分

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6.(江蘇15)(14分)

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如圖,在平面直角坐標系xoy中,以ox軸為始邊做兩個銳角,它們的終邊分別與單位圓相交于A、B兩點,已知A、B的橫坐標分別為

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(1)求的值; (2)求的值。

【解析】:本小題考查三角函數(shù)的基本概念、三角函數(shù)

的基本關系式、兩角和的正切、二倍角的正切公式,

考查運算求解能力。

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由條件得

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為銳角,

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(1)

(2)

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為銳角,

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7.(江蘇17)(14分)

某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD的頂點A、B及CD的中點P處,已知AB=20km,BC=10km,為了處理三家工廠的污水,現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上(含邊界),且A、B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠,并鋪設排污管道AO、BO、OP,設排污管道的總長為ykm。

(1)按下列要求寫出函數(shù)關系式:

①設∠BAO=θ(rad),將y表示成θ的函數(shù)關系式;

②設OP=x(km),將y表示成x的函數(shù)關系式;

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(2)請你選用(1)中的一個函數(shù)關系式,確定污水處理廠的位置,使三條排污管道總長度最短。

 

【解析】:本小題考查函數(shù)的概念、

解三角形、導數(shù)等基本知識,考查數(shù)學建模能力、

抽象概括能力和解決實際問題的能力。

 

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(1)①由條件知PQ垂直平分AB,若∠BAO=θ(rad),則,

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試題詳情

,所以

試題詳情

所求函數(shù)關系式為

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②若OP=x(km),則OQ=10-x,所以

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所求函數(shù)關系式為

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(2)選擇函數(shù)模型①,

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,y是θ的減函數(shù);當,y是θ的增函數(shù);

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所以當時,

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此時點O位于線段AB的中垂線上,且距離AB邊km處。

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8.(江西17)已知

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(1)求的值;

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(2)求函數(shù)的最大值.

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解:(1)由

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,           

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于是=.           

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(2)因為

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所以          

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的最大值為.      

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9.(湖南17)(本小題滿分12分)

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已知函數(shù)f(x)=cox2

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期;

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(Ⅱ)當x0∈(0,)且f(x0)=時,求f(x0)的值.

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解    由題設有f(x)=cosx+sinx=.

(Ⅰ)函數(shù)f(x)的最小正周期是T=2x.

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(Ⅱ)由f(x0)=,即sin

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因為x0∈(0,),所以

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從而cos.

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于是

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10.(遼寧17)(本小題滿分12分)

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中,內角對邊的邊長分別是,已知

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(Ⅰ)若的面積等于,求;

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(Ⅱ)若,求的面積.

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解:(Ⅰ)由余弦定理得,

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又因為的面積等于,所以,得.???????????????????????????? 4分

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聯(lián)立方程組解得.?????????????????????????????????????????????????????? 6分

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(Ⅱ)由正弦定理,已知條件化為,?????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

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聯(lián)立方程組解得

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所以的面積.?????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

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11.(全國Ⅰ17)(本小題滿分12分)

試題詳情

的內角所對的邊長分別為,且,

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(Ⅰ)求邊長;

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(Ⅱ)若的面積,求的周長

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解:(1)由兩式相除,有:

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又通過知:

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,,

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(2)由,得到

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解得:,

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最后

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12.(全國Ⅱ17)(本小題滿分10分)

試題詳情

中,,

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(Ⅰ)求的值;

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(Ⅱ)設,求的面積.

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解:(Ⅰ)由,得,

試題詳情

,得.????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

試題詳情

所以.?????????????????????????????????? 5分

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(Ⅱ)由正弦定理得.???????????????????????????????????????? 8分

試題詳情

所以的面積.??????????????????? 10分

 

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13.(山東17)(本小題滿分12分)

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已知函數(shù),)為偶函數(shù),且函數(shù)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

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(Ⅰ)求的值;

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(Ⅱ)將函數(shù)的圖象向右平移個單位后,得到函數(shù)的圖象,求的單調遞減區(qū)間.

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解:(Ⅰ)

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因為為偶函數(shù),

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所以對,恒成立,

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因此

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,

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整理得

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因為,且,

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所以

試題詳情

又因為,

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所以

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由題意得,所以

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因此

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(Ⅱ)將的圖象向右平移個單位后,得到的圖象,

試題詳情

所以

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),

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)時,單調遞減,

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因此的單調遞減區(qū)間為).

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14.(上海17)(本題滿分13分)

如圖,某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形AOC.小區(qū)的兩個出入口設置在點A及點C處,小區(qū)里

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有兩條筆直的小路,且拐彎處的轉角為.已知某人從沿走到用了10分鐘,從沿走到用了6分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米,求該扇形的半徑的長(精確到1米).

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【解法一】設該扇形的半徑為r米. 由題意,得

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CD=500(米),DA=300(米),∠CDO=……………………………4分

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中,……………6分

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…………………….9分

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解得(米). …………………………………………….13分

【解法二】連接AC,作OH⊥AC,交AC于H…………………..2分

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由題意,得CD=500(米),AD=300(米),………….4分

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∴ AC=700(米)                   …………………………..6分

試題詳情

………….…….9分

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在直角

試題詳情

(米). ………………………13分

 

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15.(上海18)(本題滿分15分)本題共有2個小題,第1個題滿分5分,第2小題滿分10分.

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已知函數(shù)f(x)=sin2x,g(x)=cos,直線與函數(shù)的圖像分別交于M、N兩點.

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(1)當時,求|MN|的值;

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(2)求|MN|在時的最大值.

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【解】(1)…………….2分

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                  ………………………………5分

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         (2)

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                             …………...8分

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                   …………………………….11分

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              ∵   …………13分

 

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             ∴ |MN|的最大值為.            ……………15分

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16.(四川17)(本小題滿分12分)

試題詳情

求函數(shù)的最大值與最小值。

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【解】:

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由于函數(shù)中的最大值為

試題詳情

  

最小值為

試題詳情

  

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故當取得最大值,當取得最小值

 

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17.(天津17)(本小題滿分12分)

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已知函數(shù)的最小正周期是

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(Ⅰ)求的值;

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(Ⅱ)求函數(shù)的最大值,并且求使取得最大值的的集合.

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(Ⅰ)解:

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試題詳情

              

試題詳情

               

試題詳情

由題設,函數(shù)的最小正周期是,可得,所以

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(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,

試題詳情

,即時,取得最大值1,所以函數(shù)的最大值是,此時的集合為

試題詳情

18.(重慶17)(本小題滿13分,(Ⅰ)小問5分,(Ⅱ)小問8分.)

試題詳情

設△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知,求:

(Ⅰ)A的大小;

試題詳情

(Ⅱ)的值.

試題詳情

解:(Ⅰ)由余弦定理,

試題詳情

            

試題詳情

         (Ⅱ)

試題詳情

            

試題詳情

19.(湖北16).(本小題滿12分)

試題詳情

   已知函數(shù)

試題詳情

  (Ⅰ)將函數(shù)化簡成的形式,并指出的周期;

試題詳情

  (Ⅱ)求函數(shù)上的最大值和最小值

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解:(Ⅰ)f(x)=sinx+.

      故f(x)的周期為2kπk∈Z且k≠0}.

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(Ⅱ)由πxπ,得.因為f(x)=在[]上是減函數(shù),在[]上是增函數(shù).

試題詳情

故當x=時,f(x)有最小值-;而f(π)=-2,f(π)=-<-2,

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所以當x=π時,f(x)有最大值-2.

試題詳情

20.(陜西17)(本小題滿分12分)

試題詳情

已知函數(shù)

試題詳情

(Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期及最值;

試題詳情

(Ⅱ)令,判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由.

試題詳情

解:(Ⅰ)

試題詳情

的最小正周期

試題詳情

時,取得最小值;當時,取得最大值2.

試題詳情

(Ⅱ)由(Ⅰ)知.又

試題詳情

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函數(shù)是偶函數(shù).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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