2.4逆變換和逆矩陣

第一課時(shí)     逆變換與逆矩陣

[教學(xué)目標(biāo)]

一、問(wèn)題情景

 

試題詳情

(1)這個(gè)對(duì)應(yīng)終歸是什么對(duì)應(yīng)?   

(2)這個(gè)對(duì)應(yīng)是否一定可以實(shí)現(xiàn)?在學(xué)過(guò)的恒等、伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、投影、切變變換中,哪些可以實(shí)現(xiàn),那些不能?由此得到能實(shí)現(xiàn)此這種變換的條件是什么?(不一定能實(shí)現(xiàn);恒等、伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、切變可以實(shí)現(xiàn),投影不能實(shí)現(xiàn);是一一對(duì)應(yīng)的變換可以實(shí)現(xiàn),不是一一對(duì)應(yīng)的不能實(shí)現(xiàn))

   (3)對(duì)應(yīng)的矩陣如何表示?若T1對(duì)應(yīng)變換矩陣為A,T2對(duì)應(yīng)的變換矩陣為B,BA=E

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二、問(wèn)題的深入

 1、相關(guān)定義

  以上變換T2、T1稱作對(duì)方的逆變換,T1、T2稱互逆的

相應(yīng)的矩陣A、B滿足:AB=BA=E,稱A是可逆的,B稱A的逆矩陣

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例1、A=,B=,C=,問(wèn)B、C是否為A的逆矩陣?

解答:B不是,C是

思考1:一個(gè)矩陣A存在逆矩陣,逆矩陣唯一嗎?

  從直觀角度上看,逆變換是唯一的,逆矩陣也應(yīng)該唯一;可以進(jìn)行驗(yàn)證:設(shè)A的逆矩陣為B1、B2,則有:B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2

  這樣,一個(gè)矩陣A存在逆矩陣,則其逆矩陣唯一,記為A-1

思考2:如何判斷一個(gè)二階矩陣存在逆矩陣,又如何求呢?

   從幾何角度是一個(gè)辦法,但不是最家辦法,因?yàn)樵S多矩陣不能看出是什么變換。所以從一般的角度加以考慮。首先,零矩陣一定沒(méi)有逆矩陣

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設(shè)二階非零矩陣的逆矩陣為,則

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=

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即方程組  有解,①②組成的x1,y1的方程組要有解;③④組成的x2、y2的方程組也要有解

現(xiàn)用消去法解①②方程組。①×d得:adx1+bdy1=d     ②×b得:cbx1+bdy1=0   兩式作差得到

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(ad-bc)x1=d,要有解,必須ad-bc≠0,此時(shí)x1=,將之代入②得y1=-

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  對(duì)于③④,實(shí)質(zhì)是將①②中a與c,b與d互換,從而x2=,y2=-

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  2、結(jié)論:一個(gè)二階非零矩陣存在逆矩陣的條件是ad-bc≠0(主對(duì)角線積與副對(duì)角線積的差不為0),此時(shí)-1=

與原矩陣比較:分母都是ad-bc,分子主對(duì)角線互換,副對(duì)角線變?yōu)槠湎喾磾?shù)

即:主角對(duì)角積相減,四元分母盡一般;分子主角兩相換,副角分子數(shù)相反

這樣判斷及求逆矩陣方法有幾何法和代數(shù)法兩個(gè)方法

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例2、判斷下列矩陣是否存在逆矩陣,存在條件下,求其逆矩陣

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(1)    (2)            (3)

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   解:(1)存在逆矩陣,-1=

   (2)不存在逆矩陣

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(3)存在逆矩陣,-1=

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思考3:A=,B=    求A-1、B-1、(AB)-1及B-1A-1,由此看出什么規(guī)律,這個(gè)規(guī)律是否對(duì)一般的情況仍然成立?

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A-1=,B-1=,(AB)-1=-1=,B-1A-1=,(AB)-1=B-1A-1

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對(duì)于一般的,對(duì)應(yīng)矩陣也應(yīng)有(AB)-1=B-1A-1

這個(gè)結(jié)論還可以用代數(shù)方法證明:(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E,同理(B-1A-1)(AB)=E

根據(jù)定義有(AB)-1=B-1A-1

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例3、求的逆矩陣   (

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例4、A、B、C為二階矩陣,AB=AC,A存在逆矩陣,則B與C是否相等,證明你的結(jié)論

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解:AB=ACA-1AB=A-1ACEB=ECB=C

這一結(jié)論可以回答:矩陣乘法的消去律在有逆矩陣條件下成立

練習(xí):A、B、C為二階矩陣,BA=CA,A存在逆矩陣,則B與C是否相等,證明你的結(jié)論(相等)

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三、小結(jié):1、一個(gè)二階非零矩陣存在逆矩陣的條件是ad-bc≠0(主對(duì)角線積與副對(duì)角線積的差不為0),此時(shí)-1=

2、(AB)-1=B-1A-1

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3、A存在逆矩陣時(shí),AB=AC或BA=CA,則B=C

[補(bǔ)充習(xí)題]

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四、作業(yè):教材P63---1,2,3,6

1、討論矩陣存在逆矩陣的條件,當(dāng)它可逆時(shí)求其逆矩陣

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2、求的逆矩陣

[補(bǔ)充習(xí)題答案]

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1、d=0時(shí)不存在逆矩陣;d≠0時(shí),存在逆矩陣

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2、

[情況反饋]

 

 

 

 

第二課時(shí)    二階矩陣與二元一次方程組

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)難點(diǎn)、重點(diǎn)]矩陣法解方程組原理

[教學(xué)過(guò)程]

一、情景引入

消元法二求解元一次方程組

當(dāng)ad-bc≠0時(shí),方程組的解為

問(wèn)題:此結(jié)論有什么規(guī)律,能否進(jìn)行簡(jiǎn)單記憶?

二、新課內(nèi)容

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三、情感態(tài)度和價(jià)值觀:體會(huì)不同方法解題的優(yōu)越性

1、二階行列式有關(guān)定義

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定義:det(A) ==ad-bc

因此方程組的解為    

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記:D=,Dx,Dy,所以,方程組的解為

這里Dx是將右邊的常數(shù)列代替了x列,Dy是將y列用常數(shù)列代替

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思考:二階矩陣與二階行列式有什么不同?(矩陣是數(shù)表,行列式是一個(gè)數(shù)值)

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例1 求方程組的解

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解:[方法一]原方程可以化為,D==-2,Dx==-13,Dy==8

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所以,方程組的解為

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分析二:原方程化成 之后,可以用矩陣表示為AX=B,這樣A-1AX=A-1B,X=A-1B

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[方法二] 原方程可以化為,即=

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=-1==,故方程組的解為

   說(shuō)明:方法二的解法為矩陣法,對(duì)一般的存在逆矩陣的方程組解法有直接解方法、行列式法、矩陣法,有的還有幾何法

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練習(xí)1:解方程組                (x=2,y=2)

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練習(xí)2:解方程=               (x=4,y=1)

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練習(xí)3:在矩陣M=對(duì)應(yīng)的變換TM作用下,求點(diǎn)P(1,0)、Q(0,1)的原象點(diǎn)的坐標(biāo)

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   例2、給定一個(gè)二階A,=,=

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  求證(1)若A可逆,則有A≠A    (2)若A=A,則A不可逆,并說(shuō)明其幾何意義

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  證明:(1)假設(shè)A=A,則A-1 A=A-1A=與已知矛盾,故A≠A

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(2)若A可逆,設(shè)為A-1,則A-1 A=A-1A,=與已知矛盾,故A不可呢。幾何意義,當(dāng)一個(gè)矩陣將兩個(gè)不同元素變?yōu)橥辉貢r(shí),必非一一對(duì)應(yīng),矩陣不可逆

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例3、研究=的解

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解:是將平面上所有的點(diǎn)都垂直于x軸投影到y(tǒng)=x上,通過(guò)運(yùn)算也可以得到=,x=2

所以方程組有無(wú)數(shù)多個(gè)解,滿足x=2直線上所有點(diǎn)都是其解

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   說(shuō)明:不可逆,不能用行列式或逆矩陣方法求解

 [補(bǔ)充習(xí)題]

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 四、作業(yè):教材P63---4,5,7,8,9

1、對(duì)于二元一次方程組A=,其中A=,若A1=,A2=,用A、A1、A2的行列式表示方程組的解

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2、TA是繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)600的旋轉(zhuǎn)變換,TB是切變角為450沿OX軸方向的切變變換,PP/(2,4)P//,求P和P//的坐標(biāo)

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3、已知=A

[補(bǔ)充習(xí)題解答]

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1、|A|≠0時(shí),有唯一解x=,y= ;|A|=0,|A1||A2|≠0時(shí),無(wú)解;|A|=0,|A1||A2|=0時(shí)有無(wú)窮多個(gè)解

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2、P(1+2,-+2),P//(6,4)

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3、A=-1-1=

[情況反饋]

 

 

 

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同步練習(xí)冊(cè)答案