18．(本小題滿分14分)

請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六

棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐(如右

圖所示)。試問當帳篷的頂點O到底面中心的距離

為多少時，帳篷的體積最大？

[考點分析：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值的基礎知識，以及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力]

解：設，則。

由題設可得正六棱錐底面邊長為：，(單位：)

故底面正六邊形的面積為：=，(單位：)

帳篷的體積為：

(單位：)

求導得。

令，解得(不合題意，舍去)或。

當時，，為增函數(shù)；

當時，，為減函數(shù)。

∴當時，最大。

答：當時，帳篷的體積最大，最大體積為。

17．(本小題滿分12分，第一小問滿分5分，第二小問滿分7分)

已知三點P(5，2)、(－6，0)、(6，0)。

(Ⅰ)求以、為焦點且過點P的橢圓的標準方程；

(Ⅱ)設點P、、關于直線y＝x的對稱點分別為、、，求以、為焦點且過點的雙曲線的標準方程。

[考點分析：本題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標準方程、幾何性質(zhì)等基礎知識和基本運算能力]

[解](I)由題意，可設所求橢圓的標準方程為+，其半焦距。

，　　 ∴，

，故所求橢圓的標準方程為+；

(II)點P(5，2)、(－6，0)、(6，0)關于直線y＝x的對稱點分別為：

、(0，-6)、(0，6)

設所求雙曲線的標準方程為-，由題意知半焦距，

，　　 ∴，

，故所求雙曲線的標準方程為-。

(11)在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，則AC＝　▲　

解：利用正弦定理

點評：本題主要考查正弦定理的應用

(12)設變量x、y滿足約束條件，則的最大值為　▲　

解：根據(jù)線性約束條件畫出可行域(圖略)，顯然在(3，4)處取得最大值18

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的基礎知識。

(13)今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列有　▲　種不同的方法(用數(shù)字作答)。

解：由題意，

點評：本題主要考查不全相異元素的全排列

(14)＝　▲　

解

點評：本題主要考查三角函數(shù)的畫簡與求值

(15)對正整數(shù)n，設曲線在x＝2處的切線與y軸交點的縱坐標為，則數(shù)列的前n項和的公式是　▲　

解：，令x=0，求出切線與y軸交點的縱坐標為，所以，則數(shù)列的前n項和

點評：本題主要考查利用導數(shù)求切線方程，再與數(shù)列知識結合起來，解決相關問題。

(16)不等式的解集為　▲　

解：

綜上：

點評：本題主要考查對數(shù)不等式的解法

(1)已知，函數(shù)為奇函數(shù)，則a＝

(A)0　　(B)1　　(C)－1　　(D)±1

解：法一：由函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，則， 即，則a＝0，選A

法二：得：，則a＝0，選A

點評：主要考查奇函數(shù)的定義和性質(zhì)

(2)圓的切線方程中有一個是

(A)x－y＝0　　(B)x+y＝0　　(C)x＝0　　(D)y＝0

解：圓心為(1，)，半徑為1，故此圓必與y軸(x=0)相切，選C

　點評：本題主要考查圓的定義及直線與圓的位置關系

(3)某人5次上班途中所花的時間(單位：分鐘)分別為x，y，10，11，9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則｜x－y｜的值為

(A)1　　(B)2　　　(C)3　　　(D)4

解： 由平均數(shù)公式為10，得則；又由于方差為2，則得，所以有，故選(D)

點評：本題主要考查平均數(shù)與方差的定義等統(tǒng)計方面的基礎知識

(4)為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像上所有的點

(A)向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)

(B)向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)

(C)向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變)

(D)向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變)

解：根據(jù)三角函數(shù)的圖像變換法則易得：把向左平移個單位長度得，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變)故選(C)

點評：本題主要考查形如的三角函數(shù)圖像的變換

(5)的展開式中含x的正整數(shù)指數(shù)冪的項數(shù)是

(A)0　　　(B)2　　　(C)4　　　(D)6

解：展開式通項為，若展開式中含x的正整數(shù)指數(shù)冪，即所以，選(B)

點評：本題主要考查二項式定理的相關知識

(6)已知兩點M(－2，0)、N(2，0)，點P為坐標平面內(nèi)的動點，滿足�。�0，則動點P(x，y)的軌跡方程為

(A)　　(B)　　(C)　　(D)

解：由題意　　

，所以有

即：，故選(B)

點評：本題主要考查點的軌跡方程的求法

(7)若A、B、C為三個集合，，則一定有

(A)　　(B)　　(C)　　(D)

解：由知，，故選(A)

點評：本題主要考查集合間關系的運算

(8)設a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成立的是

(A)　　(B)

(C)　　　(D)

解：因為，所以(A)恒成立；

在(B)兩側同時乘以得

所以(B)恒成立；

(C)中，當a>b時，恒成立，a<b時，不成立；

(D)中，分子有理化得恒成立，故選(C)

點評：本題主要考查不等式的相關知識

A

D

C

B

(9)兩相同的正四棱錐組成如圖1所示的幾何體，可放棱長為1的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個平面平行，且各頂點均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有

圖1

(A)1個　　　(B)2個

(C)3個　　　(D)無窮多個

解：法一：本題可以轉(zhuǎn)化為一個正方形可以有多少個內(nèi)接正方形，顯然有無窮多個

法二：通過計算，顯然兩個正四棱錐的高均為，考查放入正方體后，面ABCD所在的截面，顯然其面積是不固定的，取值范圍是，所以該幾何體的體積取值范圍是

點評：本題主要考查學生能否迅速構造出一些常見的幾何模型，并不是以計算為主

(10)右圖中有一個信號源和五個接收器。接收器與信號源在同一個串聯(lián)線路中時，就能接收到信號，否則就不能接收到信號。若將圖中左端的六個接線點隨機地平均分成三組，將右端的六個接線點也隨機地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個接線點用導線連接，則這五個接收器能同時接收到信號的概率是

(A)　　　(B)

(C)　　　(D)

解：由題意，左端的六個接線點隨機地平均分成三組有種分法，同理右端的六個接線點也隨機地平均分成三組有種分法；要五個接收器能同時接收到信號，則需五個接收器與信號源串聯(lián)在同一個線路中，即五個接收器的一個全排列，再將排列后的第一個元素與信號源左端連接，最后一個元素與信號源右端連接，所以符合條件的連接方式共有種，所求的概率是，故選(D)

點評：本題要求學生能夠熟練運用排列組合知識解決計數(shù)問題，并進一步求得概率問題，其中隱含著平均分組問題。

21. (本小題滿分14分)

已知橢圓C₁:,拋物線C₂:,且C₁、C₂的公共弦AB過橢圓C₁的右焦點.

(Ⅰ)當AB⊥軸時,求、的值，并判斷拋物線C₂的焦點是否在直線AB上；

(Ⅱ)是否存在、的值，使拋物線C₂的焦點恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的、的值；若不存在，請說明理由.

2006年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(湖南卷)

20. (本小題滿分14分)

對1個單位質(zhì)量的含污物體進行清洗,清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:)為0.8,要求洗完后的清潔度是0.99.有兩種方案可供選擇,方案甲:一次清洗;方案乙:兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響,其質(zhì)量變?yōu)?sub>(1≤a≤3).設用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是(),用質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是,其中是該物體初次清洗后的清潔度.

(Ⅰ)分別求出方案甲以及時方案乙的用水量,并比較哪一種方案用水量較少;

(Ⅱ)若采用方案乙,當為某定值時,如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最少?并討論取不同數(shù)值時對最少總用水量多少的影響.

19. (本小題滿分14分)

已知函數(shù),數(shù)列{}滿足:

證明:(ⅰ);(ⅱ).

18. (本小題滿分14分)

如圖4,已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2,AB=4.

(Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD;

(Ⅱ)求異面直線AQ與PB所成的角;

(Ⅲ)求點P到平面QAD的距離.

17.(本小題滿分12分)

某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對5家小型煤礦進行安全檢查(簡稱安檢).若安檢不合格,則必須進行整改.若整改后經(jīng)復查仍不合格,則強行關閉.設每家煤礦安檢是否合格是相互獨立的,且每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.5, 整改后安檢合格的概率是0.8,計算(結果精確到0.01):

(Ⅰ)恰好有兩家煤礦必須整改的概率;

(Ⅱ)平均有多少家煤礦必須整改;

(Ⅲ)至少關閉一家煤礦的概率.

16.(本小題滿分12分)

如圖3,D是直角△ABC斜邊BC上一點,AB=AD,記∠CAD=,∠ABC=.

(Ⅰ)證明 ;

(Ⅱ)若AC=DC,求的值.