=

　　　　　 =sin(2x+. ∴f(x)的最小正周期T==π. 由題意得2kπ-≤2x+,k∈Z, ∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為［kπ-］,k∈Z. (2)方法一： 先把y=sin 2x圖象上所有的點(diǎn)向左平移個單位長度，得到y(tǒng)=sin(2x+)的圖象，再把所得圖象上所有的點(diǎn)向上平移個單位年度，就得到y(tǒng)=sin(2x+)+的圖象. 方法二： 把y=sin 2x圖象上所有的點(diǎn)按向量a=(-)平移，就得到y(tǒng)=sin(2x+)+的圖象. (18)本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點(diǎn)到平面的距離等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力.滿分12分. 方法一: (1)證明：連結(jié)OC. ∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD. ∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD. 在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=. 而AC=2, ∴AO²+CO²=AC^2, ∴∠AOC=90°,即AO⊥OC. 　　　　　　　　　　　　　

∴AB平面BCD.

(Ⅱ)解：取AC的中點(diǎn)M,連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知ME∥AB,OE∥DC.

∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角.

在△OME中，

是直角△AOC斜邊AC上的中線，∴

∴

∴異面直線AB與CD所成角的大小為

(Ⅲ)解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h.

,

∴·S_△ACD =·AO·S_△CDE.

在△ACD中，CA=CD=2,AD=,

∴S_△ACD=

而AO=1, S_△CDE=

∴h=

∴點(diǎn)E到平面ACD的距離為.

方法二：

(Ⅰ)同方法一：

(Ⅱ)解：以O為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0，0)，D(-1，0，0)，

C(0，，0)，A(0,0,1),E(,,0),

∴

∴異面直線AB與CD所成角的大小為

(Ⅲ)解：設(shè)平面ACD的法向量為n=(x,y,z),則　　　　　

∴

令y=1，得n=(-)是平面ACD的一個法向量. 又

∴點(diǎn)E到平面ACD的距離 h=

(19)本小題主要考查函數(shù)，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知識，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實(shí)際問題的能力.滿分12分. 解: (1)當(dāng)x=40時，汽車從甲地到乙地行駛了小時, 要耗油(. 答：當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升. (2)當(dāng)速度為x千米/小時，汽車從甲地到乙地行駛了設(shè)耗油量為h(x)升，衣題意得 h(x)=()·,

h’(x)=(0＜x≤120＝ 令h’(x)=0，得x=80. 當(dāng)x∈(0,80)時，h’(x)＜0,h(x)是減函數(shù); 當(dāng)x∈(80,120)時，h’(x)＞0,h(x)是增函數(shù). ∴當(dāng)x=80時，h(x)取到極小值h(80)=11.25. 因?yàn)閔(x)在(0,120)上只有一個極值，所以它是最小值. 答：當(dāng)汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升. (20)本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識，考查平面解析幾何的基本方法，

考查運(yùn)算能力和綜合能力.滿分12分.

解(1) ∵a²=2,b²=1,∴c=1,F(-1,0),l:x=-2. ∵圓過點(diǎn)O、F. ∴圓心M在直線x=-

設(shè)M(-),則圓半徑

r=|(-)-(-2)|=. 由|OM|=r,得 解得t=±, ∴所求圓的方程為(x+)²+(y±) ²=. (2)設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)(k≠0), 代入+y²=1,整理得(1+2k²)x²+4k²x+2k²-2=0. ∵直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F, ∴方程有兩個不等實(shí)根. 記A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),AB中點(diǎn)N(x₀,y₀), 則x₁+x₁=-

x₀₌

 AB垂直平分線NG的方程為

令y=0，得

∵

∴點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為()。

(21)本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本知識，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查運(yùn)算能力，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法和分析問題、解決問題的能力。滿分12分。

　　　 解：(I)f(x)=－x²+8x=－(x－4)²+16,

　　　 當(dāng)t+1<4，即t<3時，f(x)在[t，t+1]上單調(diào)遞增，

h(t)=f(t+1)=－(t+1)²+8(t+1)=－t²+6t+7;

當(dāng)t≤4≤t+1時,即3≤t≤4時，h(t)=f(4)=16;

當(dāng)t>4時，f(x)在[t，t+1]上單調(diào)遞減，

h(t)=f(x)=－t²+8t .

綜上，h(t)=　　　

(II)函數(shù)y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點(diǎn)，即函數(shù)

j(x)=g(x)－f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點(diǎn)。

∴j(x)=x²－8x+16ln x+m,

∵j′(x)=2x－8+　　　　　　

當(dāng)x∈(0,1)時，j′(x)>0，j(x)是增函數(shù)；

當(dāng)x∈(1,3)時，j′(x)<0，j(x)是減函數(shù)；

當(dāng)x∈(3,+∞)時，j′(x)>0，j(x)是增函數(shù)；

當(dāng)x=1，或x=3時， j′(x)=0；

∴j(x)_極大值=j(1)=m－7, j(x)_極小值=j(3)=m+6ln 3－15.

∵當(dāng)x充分接近0時，j(x)<0，當(dāng)x充分大時，j(x)>0.

∴要使j(x)的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點(diǎn)，必須且只須

　　 既7<m<－6ln 3.

所以存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點(diǎn)，m的取值范圍為(7，15-6ln 3).

(22)本小題主要考查數(shù)列、不等式等基本知識，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法，考查綜合解題能力。滿分14分。

(I)解：∵a_n+1=2 a_n+1(n∈N),

∴a_n+1+1=2(a_n+1),

∴| a_n+1| 是以a₁+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。

∴a_n+1=2ⁿ，

既a_n=2ⁿ－1(n∈N)。

(II)證法一：∵4^b1－14 ^b2－2…4 ^bn－1=(a+1)^bn，

∵4^k1+k2+…+kn =2^nk, ∴2[(b₁+b₂+…+b_n)-n]=nb,　　　　　　　　　　　　　　 ① 2[(b₁+b₂+…+b_n+1)-(n+1)]=(n+1)b_n+1　　　　　　　　　　 ②

②-①,得2(b_n+1-1)=(n+1)b_n+1-nb, 即 (n-1)b_n+1-nb_n+2=0.　　　　　　　　　　　　　　　 ③ nb_n+2=(n+1)b_n+1+2=0.　　　　　　　　　　　　　　　　 ④ ④-③，得nb_n+2-2nb_n+1-nb_n=0,

即 b_n+2-2b_n+1+b=0,

∴b_n-2-b_n+1=b_n(n∈N^*), ∴{b_n}是等差數(shù)列. 證法二：同證法一，得 (n-1)b_n+1=nb_n+2=0 令n=1，得b₁=2. 設(shè)b₂=2+d(d∈R),，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 b_n=2+(n-1)d. (1)當(dāng)n=1,得b₁=2. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時，b₁=2+(k-1)d,那么 b_k+1=

這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式也成立. 根據(jù)(1)和(2)，可知b_n=2(n-1)d對任何n∈N^*都成立. ∵b_n+1-b_n=d, ∴{b_n}是等差數(shù)列. (3)證明：∵

∴

∵≥(),k=1,2,…,n, 數(shù)　學(xué)(文史類)

第Ⅰ卷(選擇題　共60分) 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. (1)已知兩條直線y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，則a等于

A.2　　　　　　　 B.1　　　　　 C.0　　　　　　　 D.-1 (2)在等差數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2,a₂+a₃=13,則a₄+a₅+a₆等于 A.40　　　　　　　 B.42　　　　　 C.43　　　　　　　 D.45 (3)“tan a=1”是“a=”的 A.充分而不必要條件　　　　　　　 B.必要而不充分條件

C.充要條件　　　　　　　　　　　 D.既不充分也不必要條件

(17)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)=sin²x+xcosx+2cos²x,xR.

(I)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；

(Ⅱ)函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=sin2x(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？

(18)(本小題滿分12分)

如圖，四面體ABCD中，O、E分別BD、BC的中點(diǎn),CA=CB=CD=BD=2

(Ⅰ)求證：AO⊥平面BCD；

(Ⅱ)求異面直線AB與CD所成角的大�。�

(Ⅲ)求點(diǎn)E到平面的距離.

(19)(本小題滿分12分)

統(tǒng)計(jì)表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/小時)的函數(shù)解析式可以表示為：y=(0<x≤120).已知甲、乙兩地相距100千米。

(Ⅰ)當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？

(Ⅱ)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

(20)(本小題滿分12分)

已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。

(Ⅰ)求過點(diǎn)O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程；

(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.

(21)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)=－x+8x,g(x)=6lnx+m

(Ⅰ)求f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值h(t);

(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)m，使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；，若不存在，說明理由。

(22)(本小題滿分14分)

已知數(shù)列{a}滿足a=1,a=2a+1(n∈N)

(Ⅰ)求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)若數(shù)列{b_n}滿足4^k­1-14^k2-1…4^k-1=(a_n+1)^km(n∈N^*),證明:{b_n}是等差數(shù)列;

(Ⅲ)證明:(n∈N^*). 數(shù)學(xué)試題(理工農(nóng)醫(yī)類)參考答案 一、選擇題：本大題考查基本概念和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分60分. (1)D　　 (2)B　　 (3)A　　 (4)C　　　 (5)D　　　 (6)A (7)C　　 (8)A　　 (9)B　　 (10)C　　 (11)B　　　 (12)B 二、填空題：本大題考查基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算.每小題4分，滿分16分. (13)10　　　　 (14)　　　(15)　　　　 (16)()

(13)(x－)展開式中x的系數(shù)是　　　　　　　　　　　 (用數(shù)字作答)

(14)已知直線x－y－1=0與拋物線y=ax相切，則a=　　　　　　　　　　

(15)一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標(biāo)以數(shù)0，兩個面上標(biāo)以數(shù)1,一個面上標(biāo)以數(shù)2，將這個小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是　　　　　　　　

(16)如圖，連結(jié)△ABC的各邊中點(diǎn)得到一個新的△A₁B₁C₁，又連結(jié)的△A₁B₁C₁各邊中點(diǎn)得到，如此無限繼續(xù)下去，得到一系列三角形：△ABC，△A₁B₁C₁，△A₂B₂C₂，…，這一系列三角形趨向于一個點(diǎn)M，已知A(0,0) ,B(3,0),C(2,2)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是　　　 .

(1)設(shè)a、b、c、d∈R，則復(fù)數(shù)(a+bi)(c+di)為實(shí)數(shù)的充要條件是

A.ad－bc=0　　　　 B.ac－bd=0　　　　 C. ac+bd=0　　　 D.ad+bc=0

(2)在等差數(shù)列{a}中，已知a=2,a+a=13，則a+a+a等于

A.40　　　　　　　 B.42　　　　　　　 C.43　　　　　　 D.45

(3)已知∈(,)，sin=,則tan()等于

A.　　　　　　　 B.7　　　　　　 C.－ 　　　　　D.－7

　　 (4)已知全集U=R,且A={x︱︱x－1︱>2},B={x︱x－6x+8<0}，則(A)∩等于

A.[－1,4] 　　　　　B. (2,3)　　　　　 C. (2,3)　　　　　 D.(－1,4)

(5)已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于

A.2　　　　　 B.　　　　　 C.　　　　 D.

(6)在一個口袋中裝有5個白球和3個黑球，這些球除顏色外完全相同，從中摸出3個球，至少摸到2個黑球的概率等于

A.　　　　　　　 B.　　　　　　 C.　　　　　 D.

(7)對于平面和共面的直線m、n，下列命題中真命題是

A.若m⊥，m⊥n，則n∥　　　 B.若m∥，n∥，則m∥n

C.若m，n∥，則m∥n　　　 　D.若m、n與所成的角相等，則n∥m

(8)函數(shù)y=㏒(x﹥1)的反函數(shù)是

A.y= (x>0)　　　　　 B.y= (x<0)　　　　

C.y= (x>0)　　　 D. .y= (x<0)

(9)已知函數(shù)f(x)=2sinx(>0)在區(qū)間[,]上的最小值是－2，則的最小值等于

A.　　　　　　　 B.　　　　　　 C.2　　 　　　D.3

(10)已知雙曲線(a>0,b<0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是

A.( 1,2) 　　　　　B. (1,2)　　　　　 C.[2,+∞]　　　　　 D.(2,+∞)

(11)已知︱︱=1，︱︱=,=0,點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC=30°，設(shè)=m+n(m、n∈R)，則等于

A.　　　　　　　 B.3　　　　　　 C.　　　　 D.

(12)對于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)A(x,y)、B(x，y)，定義它們之間的一種“距離”：‖AB‖=︱x－x︱+︱y－y︱.

給出下列三個命題：

①若點(diǎn)C在線段AB上，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;

②在△ABC中，若∠C=90°，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.

其中真命題的個數(shù)為

A.0　　　　 　　　　B.1　　　　　　　 C.2　　　　　　 D.3

第Ⅱ卷(非選擇題　 共90分)

案填在題中橫線上。

(9)的值等于. (10)在的展開式中, 的系數(shù)是.(用數(shù)字作答)

(11)若三點(diǎn) A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(0 ,b)(ab0)共線，則,

的值等于

(12)在△ABC 中，若 C B A sin A: sinB: sinC =5:7:8. 則∠B 的大小是

(13)已知點(diǎn) P(x，y)的坐標(biāo)滿足條件點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么|PO |的最小值

等于,最大值等于.

(14)已知A、B、C三點(diǎn)在球心為 O，半徑為R 的球面上，AC⊥BC，且 AB=R，那么 A、B 兩點(diǎn)間的球面距離為 球心到平面 ABC 的距離為.

. 三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

(15)(本小題共 12 分)

已知函數(shù).

(Ⅰ)求的定義域；

(Ⅱ)設(shè)的第四象限的角，且，求的值

(16)(本小題共 13 分)

已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)

的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，0)，(2，0)，如圖所示，求：

(Ⅰ)的值； (Ⅱ)a，b，c 的值.　　　　　　　　　　　 　

(17)(本小題共 14 分)

如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐 P-ABCD 中，AB⊥AC，PA⊥平面 ABCD，且

PA=PB，點(diǎn) E 是 PD 的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證：AC⊥PB；

(Ⅱ)求證：PB//平面 AEC；　　　　　

(Ⅲ)求二面角 E-AC-B 的大小.

(18)(本小題共 13 分)

某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案.

方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過；

方案二：在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，這兩門都及格為考試通過.

假設(shè)某應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是 a，b，c，且三門課程考

試是否及格相互之間沒有影響. 求：

(Ⅰ)分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時考試通過的概率；

(Ⅱ)試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小.(說明理由)

(19)(本小題共 14 分)

已知點(diǎn) M(－2，0)，N(2，0)，動點(diǎn) P滿足條件|PM |－|PN |=，記動點(diǎn) P的軌

跡為 W.

(Ⅰ)求 W 的方程；

(Ⅱ)若 A，B 是W上的不同兩點(diǎn)，O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，求

、的最小值.

(20)(本小題共 14 分)

在數(shù)列中，若 a1，a2 是正整數(shù)，且,3，4，5，…，則稱

為“絕對差數(shù)列”.

(Ⅰ)舉出一個前五項(xiàng)不為零的“絕對差數(shù)列”(只要求寫出前十項(xiàng))；

(Ⅱ)若“絕對差數(shù)列”中，,，數(shù)列滿足

n=1，2，3，…，分雖判斷當(dāng)時, 與的極限是否存在，如果存在，求出其極

限值；

(Ⅲ)證明：任何“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個為零的項(xiàng).

(1)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 對應(yīng)的點(diǎn)位于

(A)第一象限 (B)第二象限

(C)第三象限 (D)第四象限

(2)若 a 與 b－c 都是非零向量，則“a·b=a·c”是“a⊥(b－c)”的

(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件　　 (D)既不充分也不必要條件

(3)在 1，2，3，4,5 這五個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中,各位數(shù)字之和為

(A)36 個 (B)24 個

(C)18 個 (D)6 個

(4)平面的斜線 AB 交于點(diǎn) B，過定點(diǎn) A 的動直線與 AB 垂直，且交

于點(diǎn) C，則動 點(diǎn) C 的軌跡是

(A)一條直線 (B)一個圓

(C)一個橢圓 (D)雙曲線的一支

(5)已知 是上的增函數(shù)，那么 a 的取值范

圍是

(A)(0，1)　　 (B)(0，)

(C),　　 (D)

(6)在下列四個函數(shù)中，滿足性質(zhì)：“對于區(qū)間(1，2)上的任意,( ).

恒成立”的只有

(A)　　　　 (B)



(C)　　　　 (D)

(7)設(shè),則等于

(A)　　　　　　 (B)

(C) 　　　　　(D)

(8)下圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進(jìn)出路口 A、B、

C 的機(jī)動車輛數(shù)如圖所示，圖中 　分別表示該時段單位時間通過路段 ,

的機(jī)動車輛數(shù)(假設(shè)：單位時間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等)，則 (A)   　　　　　　　 (B) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(C) 　 (D)

普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù) 學(xué)(文史類) (北京卷)

第 II 卷(共 110 分)

(17)(本大題滿分12分)已知

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)求的值。

解：(Ⅰ)由得，即，又，所以為所求。

(Ⅱ)=

===。

(18)(本大題滿分12分)在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對各種不同的搭配方式作比較。在試制某種牙膏新品種時，需要選用兩種不同的添加劑�，F(xiàn)有芳香度分別為0，1，2，3，4，5的六種添加劑可供選用。根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)原理，通常首先要隨機(jī)選取兩種不同的添加劑進(jìn)行搭配試驗(yàn)。用表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和。

(Ⅰ)寫出的分布列；(以列表的形式給出結(jié)論，不必寫計(jì)算過程)

(Ⅱ)求的數(shù)學(xué)期望。(要求寫出計(jì)算過程或說明道理)

解：(Ⅰ)

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
P

(Ⅱ)

(19)(本大題滿分12分)如圖，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn)，，P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點(diǎn)O。

(Ⅰ)證明⊥；

(Ⅱ)求面與面所成二面角的大小。

解：(Ⅰ)在正六邊形ABCDEF中，為等腰三角形，

∵P在平面ABC內(nèi)的射影為O，∴PO⊥平面ABF，∴AO為PA在平面ABF內(nèi)的射影；∵O為BF中點(diǎn)，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。

(Ⅱ)∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；而O為BF中點(diǎn)，ABCDEF是正六邊形 ，∴A、O、D共線，且直線AD⊥BF，則AD⊥平面PBF；又∵正六邊形ABCDEF的邊長為1，∴，，。

過O在平面POB內(nèi)作OH⊥PB于H，連AH、DH，則AH⊥PB，DH⊥PB，所以為所求二面角平面角。

在中，OH=，=。

在中，；

而

(Ⅱ)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，P(0,0，1)，A(0，,0)，B(，0,0)，D(0,2，0)，∴，，

設(shè)平面PAB的法向量為，則，，得，；

設(shè)平面PDB的法向量為，則，，得，；

(20)(本大題滿分12分)已知函數(shù)在R上有定義，對任何實(shí)數(shù)和任何實(shí)數(shù)，都有

(Ⅰ)證明；(Ⅱ)證明 其中和均為常數(shù)；

(Ⅲ)當(dāng)(Ⅱ)中的時，設(shè)，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值。

證明(Ⅰ)令，則，∵，∴。

(Ⅱ)①令，∵，∴，則。

假設(shè)時，，則，而，∴，即成立。

②令，∵，∴，

假設(shè)時，，則，而，∴，即成立。∴成立。

(Ⅲ)當(dāng)時，，

令，得；

當(dāng)時，，∴是單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)時，，∴是單調(diào)遞增函數(shù)；

所以當(dāng)時，函數(shù)在內(nèi)取得極小值，極小值為

(21)(本大題滿分12分)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知

(Ⅰ)寫出與的遞推關(guān)系式，并求關(guān)于的表達(dá)式；

(Ⅱ)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和。

解：由得：，即，所以，對成立。

由，，…，相加得：，又，所以，當(dāng)時，也成立。

(Ⅱ)由，得。

而，

，

(22)(本大題滿分14分)如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點(diǎn)。P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且位于軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)。已知四邊形為平行四邊形，。

(Ⅰ)寫出雙曲線C的離心率與的關(guān)系式；

(Ⅱ)當(dāng)時，經(jīng)過焦點(diǎn)F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點(diǎn)，若，求此時的雙曲線方程。

解：∵四邊形是，∴，作雙曲線的右準(zhǔn)線交PM于H，則，又，。

(Ⅱ)當(dāng)時，，，，雙曲線為四邊形是菱形，所以直線OP的斜率為，則直線AB的方程為，代入到雙曲線方程得：，

又，由得：，解得，則，所以為所求。

(13)設(shè)常數(shù)，展開式中的系數(shù)為，則_____。

解：，由，所以，所以為1。

(14)在中，，M為BC的中點(diǎn)，則_______。(用表示)

解：，，所以。

(15)函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若則__________。

解：由得，所以，則。

(16)多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的，如圖，正方體的一個頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個頂點(diǎn)到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個頂點(diǎn)中的一個，則P到平面的距離可能是：

①3；　　 ②4；　　 ③5；　　 ④6；　　 ⑤7

以上結(jié)論正確的為______________。(寫出所有正確結(jié)論的編號)

解：如圖，B、D、A₁到平面的距離分別為1、2、4，則D、A₁的中點(diǎn)到平面的距離為3，所以D₁到平面的距離為6；B、A₁的中點(diǎn)到平面的距離為，所以B₁到平面的距離為5；則D、B的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C到平面的距離為3；C、A₁的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C₁到平面的距離為7；而P為C、C₁、B₁、D₁中的一點(diǎn)，所以選①③④⑤。

(1)復(fù)數(shù)等于(　 )

A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　 D．

解：故選A

(2)設(shè)集合，，則等于(　 )

A．　　　　　　　 B．　　 C．　　　　　　 D．

解：，，所以，故選B。

(3)若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為(　 )

A．　　　　　　　 B．　　 C．　　　　　　 D．

解：橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0)，所以拋物線的焦點(diǎn)為(2,0)，則，故選D。

(4)設(shè)，已知命題；命題，則是成立的(　 )

A．必要不充分條件　 B．充分不必要條件C．充分必要條件　 D．既不充分也不必要條件

解：命題是命題等號成立的條件，故選B。

(5)函數(shù)　 的反函數(shù)是(　 )

A． B． C．　 D．

解：有關(guān)分段函數(shù)的反函數(shù)的求法，選C。

(6)將函數(shù)的圖象按向量平移，平移后的圖象如圖所示，則平移后的圖象所對應(yīng)函數(shù)的解析式是(　 )

　A．　 B．

C．　 D．

解：將函數(shù)的圖象按向量平移，平移后的圖象所對應(yīng)的解析式為，由圖象知，，所以，因此選C。

(7)若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為(　 )

A．　 B．　 C．　　 D．

解：與直線垂直的直線為，即在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導(dǎo)數(shù)為4，此點(diǎn)的切線為，故選A

(8)設(shè)，對于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是(　 )

A．有最大值而無最小值　 B．有最小值而無最大值

C．有最大值且有最小值 D．既無最大值又無最小值

解：令，則函數(shù)的值域?yàn)楹瘮?shù)的值域，又，所以是一個減函減，故選B。

(9)表面積為 的正八面體的各個頂點(diǎn)都在同一個球面上，則此球的體積為

　A．　　 　　　　　　B．　　 C．　　　　　　 D．

解：此正八面體是每個面的邊長均為的正三角形，所以由知，，則此球的直徑為，故選A。

(10)如果實(shí)數(shù)滿足條件　 ，那么的最大值為(　 )

A．　　　　　　　 B．　　 C．　　　　　　 D．

解：當(dāng)直線過點(diǎn)(0，-1)時，最大，故選B。

(11)如果的三個內(nèi)角的余弦值分別等于的三個內(nèi)角的正弦值，則(　 )

A．和都是銳角三角形　　　 B．和都是鈍角三角形

C．是鈍角三角形，是銳角三角形

D．是銳角三角形，是鈍角三角形

解：的三個內(nèi)角的余弦值均大于0，則是銳角三角形，若是銳角三角形，由，得，那么，，所以是鈍角三角形。故選D。

(12)在正方體上任選3個頂點(diǎn)連成三角形，則所得的三角形是直角非等腰三角形的概率為(　 )

　　 A．　　　　　　　 B．　　 C．　　　　　　 D．

解：在正方體上任選3個頂點(diǎn)連成三角形可得個三角形，要得直角非等腰三角形，則每個頂點(diǎn)上可得三個(即正方體的一邊與過此點(diǎn)的一條面對角線)，共有24個，得，所以選C。

2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(安徽卷)理科數(shù)學(xué)

第Ⅱ卷(非選擇題　 共90分)

請用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上書寫作答無效。

　 (17)、(本大題滿分12分)

已知

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)求的值。

(18)、(本大題滿分12分)

在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對各種不同的搭配方式作比較。在試制某種牙膏新品種時，需要選用兩種不同的添加劑�，F(xiàn)有芳香度分別為0，1，2，3，4，5的六種添加劑可供選用。根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)原理，通常首先要隨機(jī)選取兩種不同的添加劑進(jìn)行搭配試驗(yàn)。用表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和。

(Ⅰ)寫出的分布列；(以列表的形式給出結(jié)論，不必寫計(jì)算過程)

(Ⅱ)求的數(shù)學(xué)期望。(要求寫出計(jì)算過程或說明道理)

(19)、(本大題滿分12分)

如圖，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn)，，P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點(diǎn)O。

(Ⅰ)證明⊥；

(Ⅱ)求面與面所成二面角的大小。

(20)、(本大題滿分12分)

已知函數(shù)在R上有定義，對任何實(shí)數(shù)和任何實(shí)數(shù)，都有

(Ⅰ)證明；

　　　　　　　　　　 　　　，

(Ⅱ)證明　　　　　　　　　　 其中和均為常數(shù)；

　　　　　 　　　　　　　　　，

(Ⅲ)當(dāng)(Ⅱ)中的時，設(shè)，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值。

(21)、(本大題滿分12分)

數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知

(Ⅰ)寫出與的遞推關(guān)系式，并求關(guān)于的表達(dá)式；

(Ⅱ)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和。

(22)、(本大題滿分14分)

如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點(diǎn)。P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且位于軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)。已知四邊形為平行四邊形，。

(Ⅰ)寫出雙曲線C的離心率與的關(guān)系式；

(Ⅱ)當(dāng)時，經(jīng)過焦點(diǎn)F且品行于OP的直線交雙曲線于A、B點(diǎn)，若，求此時的雙曲線方程。

普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第Ⅰ卷1至2頁。第Ⅱ卷3至4頁。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。

參考公式：

如果時間A、B互斥，那么

如果時間A、B相互獨(dú)立，那么

如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率

球的表面積公式，其中R表示球的半徑

球的體積公式，其中R表示球的半徑

第Ⅰ卷(選擇題　 共60分)