例1 解關(guān)于x的不等式　

解：原不等式等價(jià)于　 　即 　

∴

若a>1 ，

若0<a<1 ，

例2 解關(guān)于x的不等式

解：原不等式可化為，即

當(dāng)m>1時(shí)， 　　　∴

當(dāng)m=1時(shí)，　 　　∴xÎφ

當(dāng)0<m<1時(shí)， 　　　∴

當(dāng)m≤0時(shí)， 　x<0

例3 解關(guān)于x的不等式

解：原不等式等價(jià)于

當(dāng)即時(shí)，　

∴

當(dāng)即時(shí)，　 　　∴x¹-6

當(dāng)即時(shí)，　　 xÎR

例4　 解關(guān)于x的不等式　

解：當(dāng)即qÎ(0,)時(shí)， 　　∴x>2或x<1

當(dāng)即q=時(shí)，　 xÎφ

當(dāng)即qÎ(,)時(shí)， 　　∴1<x<2

例5 　滿足的x的集合為A；滿足的x的集合為B

1° 若AÌB　 求a的取值范圍；　 　　　

2° 若AÊB　 求a的取值范圍； 　　

3° 若A∩B為僅含一個(gè)元素的集合，求a的值

解：A=[1,2] ， B={x|(x-a)(x-1)≤0}

當(dāng)a≤1時(shí)，　 B=[a,1]　　　　　 當(dāng)a>1時(shí) B=[1,a]

當(dāng)a>2時(shí)，　 AÌB

當(dāng)1≤a≤2時(shí)，　 AÊB

當(dāng)a≤1時(shí)，　 A∩B僅含一個(gè)元素

例6 方程有相異兩實(shí)根，求a的取值范圍

解：原不等式可化為　 　

令 　則，設(shè)　　

又∵a>0 ∴

　筆者認(rèn)為，高考英語(yǔ)作文的主題越來(lái)越接近生活這是一個(gè)必然的趨勢(shì)，這種趨勢(shì)的目的是使考生將英語(yǔ)學(xué)習(xí)融入到生活中去，而不僅僅是脫離生活的、機(jī)械的學(xué)習(xí)，這也是應(yīng)對(duì)中國(guó)學(xué)生在英語(yǔ)方面突出的“高分低能”的缺點(diǎn)的有效手段之一。

　趨勢(shì)2：英語(yǔ)作文的“語(yǔ)文化”

　從上文中可以看出，高考英語(yǔ)作文這種從生活切入的主題似乎大大降低了其難度。但事實(shí)真的是這樣嗎？筆者對(duì)此持保留意見(jiàn)。雖然此類描述性的題目可以讓學(xué)生更“有話可寫”，可是我們必須注意到上述幾乎所有的題目都有兩個(gè)要求，描寫只是其中的第一個(gè)要求，在我們看來(lái)那只是一個(gè)引子，僅僅是幾句話帶過(guò)的“述題”部分。而重頭戲是后面的第二個(gè)要求，那才是評(píng)判作文質(zhì)量的關(guān)鍵所在。還是以07年的高考為例，它要求在描寫送出的禮物和所送的對(duì)象之后，還要寫出該禮物對(duì)他(她)可能產(chǎn)生的影響或帶來(lái)的變化。這就要求考生所描寫的禮物對(duì)于接受禮物的人是有意義的，自然地，如果需要得到一個(gè)較高的分?jǐn)?shù)，就要求考生在描寫的背后揭示出具有一定深意的主題。再來(lái)看05年的高考，這次是要求以“天生我材必有用”為題。很明顯，文章要求考生描寫自己曾經(jīng)做過(guò)的一件事情，從而證明人各有所長(zhǎng)，無(wú)論才能大小都能成為有用的人。這就要求考生在選題上要花上一番心思，文章所描寫的事情必須為文章的主題服務(wù)。盡量是一件小事，但是從這件小事上能夠有“以小見(jiàn)大”的效果。所以說(shuō)，雖然文章的主題和生活都是密切相關(guān)的，而且文章的素材也都是來(lái)源于生活的，可是考生在選題和文章的組織結(jié)構(gòu)上必須多花些心思，這是不是同我們?cè)谔幚砀呖贾姓Z(yǔ)文的作文題時(shí)的情形一樣呢？

　趨勢(shì)3：及格容易，高分難

　以前的英語(yǔ)作文，如果達(dá)到了要求的字?jǐn)?shù)、基本無(wú)語(yǔ)法錯(cuò)誤、思路清晰、表達(dá)及過(guò)渡流暢，一般達(dá)到這些要求，就能進(jìn)入至少“中上”的檔次。但是，描述性的文章不同于考生們平時(shí)常常接觸到的議論文，它沒(méi)有能夠套用的固定模式，取而代之的是它對(duì)考生在文章結(jié)構(gòu)的組織上提出更高的要求。因?yàn)橐黄�高考作文�?yīng)該控制在120－150字之間，那么考生如何合理地安排呢？如果描述部分過(guò)多而忽略了中心的挖掘的話，那只能算是一篇“沒(méi)有靈魂”的文章。因此，這里就要考驗(yàn)考生的概括和表達(dá)能力了，如何既做到“言簡(jiǎn)意賅”又能夠表達(dá)清楚到位，這顯然是比以前議論文一兩句話的“述題”更為艱巨的任務(wù)。

　另外，要想取得高分，還要求考生能夠考慮那些別人想不到的主題。因?yàn)檫@里的描寫可能會(huì)出現(xiàn)許許多多相近的表達(dá)，因此如果文章沒(méi)有能夠“脫穎而出”的地方，所得到的分?jǐn)?shù)自然也比較普通。故要想取得高分，考生就要注重對(duì)于文章主題的挖掘，要讓閱卷的老師看到你思想的光芒，發(fā)現(xiàn)你文章的閃光點(diǎn)。這些都是死板的模板、千篇一律的范文和單純的描寫所不能做到的。

23．已知函數(shù)f (x)＝(x－1), 數(shù)列{}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{}是公比為q的等比數(shù)列(q∈R, q≠1, q≠0),

若＝f (d－1), ＝f (d+1), ＝f (q－1), ＝f (q+1),

　 (1) 求數(shù)列{}, {}的通項(xiàng)公式；

　 (2) 設(shè)數(shù)列{}對(duì)任意的自然數(shù)n均有

成立，求+++……+的值

　 解：(1) ＝f (d－1)＝(d－2), ＝f (d+1)＝d,

∴ －＝2d, 即d－(d－2)＝2d,

解得d＝2, ∴ ＝0, ＝2(n－1),

　 又＝f (q－1)＝(q－2), ＝f (q+1)＝q,　 ＝q,

∴ ＝q,

　 ∵q ≠1, ∴ q＝3, ∴＝1, ＝3

　 (2) 設(shè)＝(n∈N), 數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為,

則＝＝2n, ＝＝2(n－1),　

　∴－＝2, 即＝2, ∴ ＝2＝2·3

　 ∴+++……+

＝2+2·3+……+2·3＝＝,

2．已知等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，＝, 且＝,+＝21, (1) 求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；(2) 求證：+++……+<2.

　 解：(1)設(shè)等差數(shù)列{}的首項(xiàng)為, 公差為d,則＝(+2d)·＝,

　 +＝8+13d＝21, 解得 ＝1, d＝1,

　 ∴ ＝n, ＝, ＝;

　 (2) +++……+

＝2·[(1－)+(－)+……+()]<2.

1．已知, a, , …, , …構(gòu)成一等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為＝n, 設(shè)＝, 記{}的前n項(xiàng)和為, (1) 求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；(2) 證明：<1.

　 解：(1) ＝＝1, 當(dāng)n≥2時(shí), ＝－＝2n－1;

由于n＝1時(shí)符合公式，∴ ＝2n－1 (n≥1).

　 (2) ＝,

∴ ＝,

　 兩式相減得

＝+＝+(1－)－,

　 ∴ ＝+(1－)－<1,

2.由1.得{}是等比數(shù)列　　 a=0.2 ,　　 q=

　 例3在等比數(shù)列中，，求的范圍

解：∵，∴

又∵，且，∴，

∴解之：

當(dāng)時(shí)，，∴

(∵)

當(dāng)時(shí)，，

∵且必須為偶數(shù)

∴，(∵)

例4 設(shè){}, {}都是等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和分別為, , 已知,求⑴；⑵

�、� 解法1：＝＝

＝.

⑴解法2：∵{}, {}都是等差數(shù)列

∴可設(shè)＝kn(5n+3), =kn(2n-1)

∴=-= k[n(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)]=kn(10n-2),

　 =-=k[n(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1)] =kn(4n-3),

∴==

⑵解：由⑴解法2，有

=-= k[n(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)]=kn(10n-2),

　 =-=k[n(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1)] =kn(4n-3),

　　　　 ∴＝k5(105-2)=240k

　　　　　 ＝k8(48-3)=232k

　　　　 ∴ =

例5設(shè)等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為,

(1)　 如果a＝9, S＝40, 問(wèn)是否存在常數(shù)c，使數(shù)列{}成等差數(shù)列；

(2)　 如果＝n－6n, 問(wèn)是否存在常數(shù)c，使得＝對(duì)任意自然數(shù)n都成立

　 解：(1) 由a＝9, S＝40, 得a＝7, d＝2,

∴ ＝2n+5, ＝n²+6n, ＝

　 ∴ 當(dāng)c＝9時(shí), ＝n+3是等差數(shù)列；

　 (2) ＝對(duì)任意自然數(shù)n都成立，

等價(jià)于{}成等差數(shù)列,

由于＝n－6n

∴＝,

即使c＝9, ＝|n－3|, 也不會(huì)成等差數(shù)列，

因此不存在這樣的常數(shù)c使得＝對(duì)任意自然數(shù)n都成立

例1 在△ABC中，三邊成等差數(shù)列，也成等差數(shù)列，求證△ABC為正三角形

　 證：由題設(shè)，且　

∴

　　　　 ∴　 即 　從而　

∴ (獲證)

例2 從盛有鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為20%的鹽水2 kg的容器中倒出1 kg鹽水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg鹽水，然后再加入1 kg水，

問(wèn)：1.第5次倒出的的1 kg鹽水中含鹽多少g？

2.經(jīng)6次倒出后，一共倒出多少k鹽？此時(shí)加1 kg水后容器內(nèi)鹽水的鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為多少？

解：1.每次倒出的鹽的質(zhì)量所成的數(shù)列為{}，則：

　　　 a= 0.2 kg ,　 a=×0.2 kg ,　　 a= ()×0.2 kg

　　　 由此可見(jiàn)：= ()×0.2 kg ,　

= ()×0.2= ()×0.2=0.0125 kg

23. (金華卷,本題10分)

已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，0)，在x軸上存在點(diǎn)Q(不與P點(diǎn)重合)，以PQ為邊作正方形PQMN，使點(diǎn)M落在反比例函數(shù)y = 的圖像上.小明對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行了探究，發(fā)現(xiàn)不論m取何值，符合上述條件的正方形只有兩個(gè)，且一個(gè)正方形的頂點(diǎn)M在第四象限，另一個(gè)正方形的頂點(diǎn)M₁在第二象限.

(1)如圖所示，若反比例函數(shù)解析式為y= ，P點(diǎn)坐標(biāo)為(1， 0)，圖中已畫出一符合條件的一個(gè)正方形PQMN，請(qǐng)你在圖中畫出符合條件的另一個(gè)正方形PQ₁M₁N₁，并寫出點(diǎn)M₁的坐標(biāo)；

(溫馨提示：作圖時(shí)，別忘

了用黑色字跡的鋼筆或簽字

筆描黑喔！)

M₁的坐標(biāo)是　　 ▲　　　

　　　　　 　 (2) 請(qǐng)你通過(guò)改變P點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)直線M₁ M的解析式y﹦kx+b進(jìn)行探究可得 k﹦　 ▲　 ，　　 若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，0)時(shí)，則b﹦　 ▲　 ；

　　　　　　 (3) 依據(jù)(2)的規(guī)律，如果點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6，0)，請(qǐng)你求出點(diǎn)M₁和點(diǎn)M的坐標(biāo)．

2.(2010年山東省濟(jì)南市)如圖,已知直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4.　　　　　　　

(1)求k的值；

(2)若雙曲線上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，求△AOC的面積；

(3)過(guò)原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線于P，Q兩點(diǎn)(P點(diǎn)在第一象限)，若由點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

[關(guān)鍵詞]反比例函數(shù)

[答案]

(1)∵點(diǎn)A橫坐標(biāo)為4 ，　

∴當(dāng) x = 4時(shí)，y = 2

∴ 點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，2 ) …………2’　　　　　　　　　　　　　　　　

∵點(diǎn)A是直線與雙曲線(k>0)的交點(diǎn)，

∴ k = 4×2 = 8　 ………….3’

(2)解法一：

∵ 點(diǎn)C在雙曲線上，當(dāng)y = 8時(shí)，x = 1

∴ 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，8)………..4’　　　　　　　　　　　　　　　　

過(guò)點(diǎn)A、C分別做x軸、y軸的垂線，垂足為M、N，得矩形DMON

S_矩形ONDM= 32 ， S_△ONC = 4 ， S_△CDA = 9， S_△OAM = 4　　　　　　　 　

S_△AOC= S_矩形ONDM－S_△ONC－S_△CDA－S_△OAM

= 32－4－9－4 = 15　 ………..6’　　

解法二：

過(guò)點(diǎn)　 C、A分別做軸的垂線，垂足為E、F，

∵ 點(diǎn)C在雙曲線上，當(dāng)y = 8時(shí)，x = 1。

∴ 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，8)　　　　　

∵ 點(diǎn)C、A都在雙曲線上，

∴ S_△COE = S_△AOF= 4 　

∴ S_△COE + S_梯形CEFA = S_△COA + S_{△AOF .}

∴ S_△COA = S_梯形CEFA 　

∵ S_梯形CEFA =×(2+8)×3 = 15，　

∴ S_△COA = 15　　　　　　　　　　　

(3)∵ 反比例函數(shù)圖象是關(guān)于原點(diǎn)O的中心對(duì)稱圖形 ，

∴ OP=OQ，OA=OB

∴ 四邊形APBQ是平行四邊形

∴ S_△POA = S_{平行四邊形APBQ} =×24 = 6

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m(m > 0且)，

得P(m，) …………..7’

過(guò)點(diǎn)P、A分別做軸的垂線，垂足為E、F，

∵ 點(diǎn)P、A在雙曲線上，∴S_△POE = S_△AOF = 4

若0＜m＜4，

∵ S_△POE + S_梯形PEFA = S_△POA + S_△AOF，

∴ S_梯形PEFA = S_△POA = 6

∴

解得m= 2，m= － 8(舍去)

∴ P(2，4)　　　　　 ……………8’　　　　　

若 m＞ 4，

∵ S_△AOF+ S_梯形AFEP = S_△AOP + S_△POE，

∴ S_梯形PEFA = S_△POA = 6

　∴，

解得m= 8，m =－2 (舍去)

∴ P(8，1)

∴ 點(diǎn)P的坐標(biāo)是P(2，4)或P(8，1)………….9’

1. (2010年山東省濟(jì)南市)若是雙曲線上的兩點(diǎn)，且，則{填“>”、“=”、“<”}．

[關(guān)鍵詞]反比例函數(shù)

[答案]＜