15.(09年山東卷) 20世紀30年代初，蘇聯(lián)領導人曾在一次演講時強調(diào)：“已經(jīng)是布爾什維克自己成為專家的時候了……技術決定一切”這主要是著眼于(　 )

A. 推行戰(zhàn)時共產(chǎn)主義政策　　　　　　　 B. 實施新經(jīng)濟政策

C. 發(fā)展農(nóng)業(yè)集體經(jīng)濟　　　　　　　　　 D. 進行工業(yè)化建設

[答案]D

4．人造衛(wèi)星(只討論繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星)

和星球表面上的物體不同，人造衛(wèi)星所受的萬有引力只有一個作用效果，就是使它繞星球做勻速圓周運動，因此萬有引力等于向心力。又由于我們定義重力是由于地球的吸引而使物體受到的力，因此可以認為對衛(wèi)星而言，

(1)人造衛(wèi)星的線速度和周期。人造衛(wèi)星的向心力是由地球?qū)λ�的萬有引力提供的，因此有： ，由此可得到兩個重要的結(jié)論：和�？梢钥闯觯�人造衛(wèi)星的軌道半徑r、線速度大小v和周期T是一一對應的，其中一個量確定后，另外兩個量也就唯一確定了。離地面越高的人造衛(wèi)星，線速度越小而周期越大。

(2)近地衛(wèi)星。近地衛(wèi)星的軌道半徑r可以近似地認為等于地球半徑R，又因為地面附近，所以有，。它們分別是繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星的最大線速度和最小周期。

(3)同步衛(wèi)星。“同步”的含義就是和地球保持相對靜止(又叫靜止軌道衛(wèi)星)，所以其周期等于地球自轉(zhuǎn)周期，既T=24h，根據(jù)(1)可知其軌道半徑是唯一確定的，經(jīng)過計算可求得同步衛(wèi)星離地面的高度為h=3.6×10⁷m≈5.6R_地(三萬六千千米)，而且該軌道必須在地球赤道的正上方，衛(wèi)星的運轉(zhuǎn)方向必須是由西向東。

在軌道上，向心力等于引力。衛(wèi)星的線速度隨軌道半徑的增大而減小。(動能雖然小了，勢能卻增大了，所以衛(wèi)星在較高的軌道上運行需要有更大的機械能。)

[例13]“神舟三號”順利發(fā)射升空后，在離地面340km的圓軌道上運行了108圈。運行中需要多次進行“軌道維持”。所謂“軌道維持”就是通過控制飛船上發(fā)動機的點火時間和推力的大小方向，使飛船能保持在預定軌道上穩(wěn)定運行。如果不進行軌道維持，由于飛船受軌道上稀薄空氣的摩擦阻力，軌道高度會逐漸降低，在這種情況下飛船的動能、重力勢能和機械能變化情況將會是

A．動能、重力勢能和機械能都逐漸減小

B．重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能不變

C．重力勢能逐漸增大，動能逐漸減小，機械能不變

D．重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能逐漸減小

解：由于阻力很小，軌道高度的變化很慢，衛(wèi)星運行的每一圈仍可認為是勻速圓周運動。由于摩擦阻力做負功，根據(jù)機械能定理，衛(wèi)星的機械能減小；由于重力做正功，根據(jù)勢能定理，衛(wèi)星的重力勢能減小；由可知，衛(wèi)星動能將增大。這也說明該過程中重力做的功大于克服阻力做的功，外力做的總功為正。答案選D。

[例14]如圖所示，發(fā)射同步衛(wèi)星的一種程序是：先讓衛(wèi)星進入一個近地的圓軌道，然后在P點點火加速，進入橢圓形轉(zhuǎn)移軌道(該橢圓軌道的近地點為近地圓軌道上的P，遠地點為同步圓軌道上的Q)，到達遠地點時再次自動點火加速，進入同步軌道。設衛(wèi)星在近地圓軌道上運行的速率為v₁，在P點短時間加速后的速率為v₂，沿轉(zhuǎn)移軌道剛到達遠地點Q時的速率為v₃，在Q點短時間加速后進入同步軌道后的速率為v₄。試比較v₁、v₂、v₃、v₄的大小，并用小于號將它們排列起來______。

解：根據(jù)題意在P、Q兩點點火加速過程中，衛(wèi)星速度將增大，所以有v₁<v₂、v₃<v₄，而v₁、v₄是繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星的線速度，它們對應的軌道半徑r₁<r₄，所以v₄<v₁。把以上不等式連接起來，可得到結(jié)論：v₃<v₄<v₁<v₂。(衛(wèi)星沿橢圓軌道由P→Q運行時，由于只有重力做負功，衛(wèi)星機械能守恒，其重力勢能逐漸增大，動能逐漸減小，因此有v₃<v₂。)

[例15]歐洲航天局用阿里亞娜火箭發(fā)射地球同步衛(wèi)星。該衛(wèi)星發(fā)射前在赤道附近(北緯5°左右)南美洲的法屬圭亞那的庫盧基地某個發(fā)射場上等待發(fā)射時為1狀態(tài)，發(fā)射到近地軌道上做勻速圓周運動時為2狀態(tài)，最后通過轉(zhuǎn)移、調(diào)試，定點在地球同步軌道上時為3狀態(tài)。將下列物理量按從小到大的順序用不等號排列：①這三個狀態(tài)下衛(wèi)星的線速度大小______；②向心加速度大小______；③周期大小______。

解：①比較2、3狀態(tài)，都是繞地球做勻速圓周運動，因為r₂<r₃，所以v₃<v₂；比較1、3狀態(tài)，周期相同，即角速度相同，而r₁<r₃由v=rω，顯然有v₁<v₃；因此v₁<v₃<v₂。②比較2、3狀態(tài)，都是繞地球做勻速圓周運動，因為r₂<r₃，而向心加速度就是衛(wèi)星所在位置處的重力加速度g=GM/r²∝1/r²，所以a₃<a₂；比較1、3狀態(tài)，角速度相同，而r₁<r₃，由a=rω²∝r，有a₁<a₃；所以a₁<a₃<a₂。③比較1、2狀態(tài)，可以認為它們軌道的周長相同，而v₁<v₂，所以T₂<T₁；又由于3狀態(tài)衛(wèi)星在同步軌道，周期也是24h，所以T₃=T₁，因此有T₂<T₁=T₃。

[例16]如圖所示，用細繩一端系著的質(zhì)量為M=0.6kg的物體A靜止在水平轉(zhuǎn)盤上，細繩另一端通過轉(zhuǎn)盤中心的光滑小孔O吊著質(zhì)量為m=0.3kg的小球B，A的重心到O點的距離為0.2m。若A與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力為f=2N，為使小球B保持靜止，求轉(zhuǎn)盤繞中心O旋轉(zhuǎn)的角速度ω的取值范圍。(取g=10m/s²)

分析與解：要使B靜止，A必須相對于轉(zhuǎn)盤靜止--具有與轉(zhuǎn)盤相同的角速度．A需要的向心力由繩拉力和靜摩擦力合成。角速度取最大值時，A有離心趨勢，靜摩擦力指向圓心O；角速度取最小值時，A有向心運動的趨勢，靜摩擦力背離圓心O。

對于B，T=mg

對于A，

解得；；故2.9rAd/s≤ω≤6.5rAd/s。

[例17]質(zhì)量為m的小球，由長為l的細線系住，細線的另一端固定在A點，AB是過A的豎直線，E為AB上的一點，且AE=，過E做水平線EF，在EF上釘一鐵釘D，如圖所示。若線能承受的最大拉力是9mg，現(xiàn)將懸線拉至水平，然后由靜止釋放，若小球能繞釘子在豎直平面內(nèi)做圓周運動，求釘子位置在水平線上的取值范圍。不計線與釘碰撞時的能量損失。

分析與解：設ED=x，則細線碰到釘子后，做圓周運動的半徑。此半徑必須滿足兩個臨界條件：

小球通過該圓的最低點時，細線拉力F≤9mg　　　　　　　　 (1)

小球通過該圓的最高點時，小球的速度　　　　　　 (2)

根據(jù)機械能守恒定律，　　　　　　　 　　(3)

　　　　　　　　　 (4)

由牛頓運動定律，　　　　　　　　　　　　 (5)

聯(lián)立(1)(3)(5)得，即，所以；

聯(lián)立(2)(4)得，即，所以；

故x的取值范圍是。

3．萬有引力和重力的關系

一般的星球都在不停地自轉(zhuǎn)，星球表面的物體隨星球自轉(zhuǎn)需要向心力，因此星球表面上的物體所受的萬有引力有兩個作用效果：一個是重力，一個是向心力。如圖所示，星球表面的物體所受的萬有引力的一個分力是重力，另一個分力是使該物體隨星球自轉(zhuǎn)所需的向心力。即

地球表面的物體所受到的向心力f的大小不超過重力的0.35%，因此在計算中可以認為萬有引力和重力大小相等。如果有些星球的自轉(zhuǎn)角速度非常大，那么萬有引力的向心力分力就會很大，重力就相應減小，就不能再認為重力等于萬有引力了。如果星球自轉(zhuǎn)速度相當大，使得在它赤道上的物體所受的萬有引力恰好等于該物體隨星球自轉(zhuǎn)所需要的向心力，那么這個星球就處于自行崩潰的臨界狀態(tài)了(2003年高考有關中子星問題就是這種情況)。

[例11]中子星是恒星演化過程的一種可能結(jié)果，它的密度很大�，F(xiàn)有一中子星，觀測到它的自轉(zhuǎn)周期為T＝1/30s。向該中子星的最小密度應是多少才能維持該星體的穩(wěn)定，不致因自轉(zhuǎn)而瓦解。計等時星體可視為均勻球體。(引力常數(shù)G＝6.67×10^－11m³/kg·s²)

解答：考慮中子星赤道處一小塊物質(zhì)，只有當它受到的萬有引力大于或等于它隨星體一起旋轉(zhuǎn)所需的向心力時，中子星才不會瓦解。

設中子星的密度為ρ，質(zhì)量為M，半徑為R，自轉(zhuǎn)角速度為ω，位于赤道處的小塊物質(zhì)質(zhì)量為m，則有

GMm/R²＝mω²R

ω＝2π/T

M＝4/3πρR³

由以上各式得ρ＝3π/GT²

代人數(shù)據(jù)解得ρ＝1.27×10¹⁴kg/m³

[例12]某行星自轉(zhuǎn)周期是6小時。在該行星赤道上稱得某物體的重力是同一物體在兩極稱得的重力的90%，求該行星的平均密度。

解：由已知，該星球赤道上物體所受的向心力是萬有引力的10%，，而星球質(zhì)量，由以上兩式可得ρ=3.03×10³kg/m³

2．雙星

宇宙中往往會有相距較近，質(zhì)量可以相比的兩顆星球，它們離其它星球都較遠，因此其它星球?qū)λ鼈兊娜f有引力可以忽略不計。在這種情況下，它們將各自圍繞它們連線上的某一固定點做同周期的勻速圓周運動。這種結(jié)構(gòu)叫做雙星。

(1)由于雙星和該固定點總保持三點共線，所以在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度必相等，即雙星做勻速圓周運動的角速度必相等，因此周期也必然相同。

(2)由于每顆星的向心力都是由雙星間相互作用的萬有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mrω²可得，可得，，即固定點離質(zhì)量大的星較近。

(3)列式時須注意：萬有引力定律表達式中的r表示雙星間的距離，按題意應該是L，而向心力表達式中的r表示它們各自做圓周運動的半徑，在本題中為r₁、r₂，千萬不可混淆。

當我們只研究地球和太陽系統(tǒng)或地球和月亮系統(tǒng)時(其他星體對它們的萬有引力相比而言都可以忽略不計)，其實也是一個雙星系統(tǒng)，只是中心星球的質(zhì)量遠大于環(huán)繞星球的質(zhì)量，因此固定點幾乎就在中心星球的球心�？梢哉J為它是固定不動的。

萬有引力定律的內(nèi)容：任何兩個物體之間都存在相互吸引的力。引力的大小跟兩個物體質(zhì)量的乘積成正比，跟它們之間距離的二次方成反比。

公式：，只適用于質(zhì)點或質(zhì)量分布均勻的球體，式中r是質(zhì)點間或球心間的距離．

基本問題是研究星體(包括人造星體)在萬有引力作用下做勻速圓周運動。

1．用萬有引力定律求中心星球的質(zhì)量和密度

當一個星球繞另一個星球做勻速圓周運動時，設中心星球質(zhì)量為M，半徑為R，環(huán)繞星球質(zhì)量為m，線速度為v，公轉(zhuǎn)周期為T，兩星球相距r，由萬有引力定律有：，可得出。

由r、v或r、T就可以求出中心星球的質(zhì)量；如果環(huán)繞星球離中心星球表面很近，即滿足r≈R，那么由可以求出中心星球的平均密度。

3．豎直面內(nèi)圓周運動最高點處的受力特點及分類

這類問題的特點是：由于機械能守恒，物體做圓周運動的速率時刻在改變，物體在最高點處的速率最小，在最低點處的速率最大。物體在最低點處向心力向上，而重力向下，所以彈力必然向上且大于重力；而在最高點處，向心力向下，重力也向下，所以彈力的方向就不能確定了，要分三種情況進行討論。

(1)彈力只可能向下，如繩拉球。

這種情況下有，即，否則不能通過最高點。

(2)彈力只可能向上，如車過橋。

在這種情況下有：，即，否則車將離開橋面，做平拋運動。

(3)彈力既可能向上又可能向下，如管內(nèi)轉(zhuǎn)(或桿連球、環(huán)穿珠)。

這種情況下，速度大小v可以取任意值。但可以進一步討論：①當時物體受到的彈力必然是向下的；當時物體受到的彈力必然是向上的；當時物體受到的彈力恰好為零。②當彈力大小F<mg時，向心力有兩解：mg±F；當彈力大小F>mg時，向心力只有一解：F+mg；當彈力F=mg時，向心力等于零或2mg。

[例10]如圖所示，桿長為L，球的質(zhì)量為m，桿連球在豎直平面內(nèi)繞軸O自由轉(zhuǎn)動，已知在最高點處，桿對球的彈力大小為，求這時小球的瞬時速度大小。

解：小球所需向心力向下，本題中＜mg，所以彈力的方向可能向上也可能向下。

(1)若F向上，則，即：。

(2)若F向下，則，即：。

本題是桿連球繞軸自由轉(zhuǎn)動，根據(jù)機械能守恒，還能求出小球在最低點的即時速度。

需要注意的是：若題目中說明小球在桿的帶動下在豎直面內(nèi)做勻速圓周運動，則運動過程中小球的機械能不再守恒，這兩類題務必分清。

2．描述勻速圓周運動的物理量

物理量有：線速度v、角速度ω、周期T、頻率f、轉(zhuǎn)速n、向心加速度a等等。

，，，，，關系是：，

適用于勻速圓周運動和非勻速圓周運動的公式有：；；

只適用于勻速圓周運動的公式有：；

小結(jié)：前三個公式是用瞬時量線速度v和角速度ω表示的，因而是普遍適用的。周期T和轉(zhuǎn)速n不是瞬時量，后兩個公式只適用于勻速圓周運動。

凡是直接用皮帶傳動(包括鏈條傳動、摩擦傳動)的兩個輪子，兩輪邊緣上各點的線速度大小相等；凡是同一個輪軸上(各個輪都繞同一根軸同步轉(zhuǎn)動)的各點角速度相等(軸上的點除外)。

[例8]如圖所示裝置中，三個輪的半徑分別為r、2r、4r，b點到圓心的距離為r，求圖中A、b、c、d各點的線速度之比、角速度之比、加速度之比。

解：v_a= v_C，而v_b∶v_C∶v_d =1∶2∶4，所以v_a∶ v_b∶v_C∶v_d =2∶1∶2∶4；ω_a∶ω_b=2∶1，而ω_b=ω_C=ω_d ，所以ω_a∶ω_b∶ω_C∶ω_d =2∶1∶1∶1；再利用a=vω，可得a_a∶a_b∶a_c∶a_d=4∶1∶2∶4

[例9]如圖所示，一種向自行車車燈供電的小發(fā)電機的上端有一半徑r₀=1.0cm的摩擦小輪，小輪與自行車車輪的邊緣接觸。當車輪轉(zhuǎn)動時，因摩擦而帶動小輪轉(zhuǎn)動，從而為發(fā)電機提供動力。自行車車輪的半徑R₁=35cm，小齒輪的半徑R₂=4.0cm，大齒輪的半徑R₃=10.0cm。求大齒輪的轉(zhuǎn)速n₁和摩擦小輪的轉(zhuǎn)速n₂之比。(假定摩擦小輪與自行車輪之間無相對滑動)

解：大小齒輪間、摩擦小輪和車輪之間和皮帶傳動原理相同，兩輪邊緣各點的線速度大小相等，由v=2πnr可知轉(zhuǎn)速n和半徑r成反比；小齒輪和車輪間和輪軸的原理相同，兩輪上各點的轉(zhuǎn)速相同。由這三次傳動可以找出大齒輪和摩擦小輪間的轉(zhuǎn)速之比n₁∶n₂=2∶175

1．勻速圓周運動的特點

勻速圓周運動是變速運動(v方向時刻在變)，而且是變加速運動(a方向時刻在變)。

3．圓錐擺

圓錐擺是運動軌跡在水平面內(nèi)的一種典型的勻速圓周運動。其特點是由物體所受的重力與彈力的合力充當向心力，向心力的方向水平。也可以說是其中彈力的水平分力提供向心力(彈力的豎直分力和重力互為平衡力)。

[例7]小球在半徑為R的光滑半球內(nèi)做水平面內(nèi)的勻速圓周運動，試分析圖中的θ(小球與半球球心連線跟豎直方向的夾角)與線速度v、周期T的關系。(小球的半徑遠小于R。)

解：小球做勻速圓周運動的圓心在和小球等高的水平面上(不在半球的球心)，向心力F是重力G和支持力N的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如圖所示有：

，由此可得：

(h為小球軌道平面到球心的高度)可見，θ越大(即軌跡所在平面越高)，v越大，T越小。

本題的分析方法和結(jié)論同樣適用于圓錐擺、火車轉(zhuǎn)彎、飛機在水平面內(nèi)做勻速圓周飛行等在水平面內(nèi)的勻速圓周運動的問題。共同點是由重力和彈力的合力提供向心力，向心力方向水平。

2．一般地說，當做圓周運動物體所受的合力不指向圓心時，可以將它沿半徑方向和切線方向正交分解，其沿半徑方向的分力為向心力，只改變速度的方向，不改變速度的大�。黄溲厍芯�方向的分力為切向力，只改變速度的大小，不改變速度的方向。分別與它們相應的向心加速度描述速度方向變化的快慢，切向加速度描述速度大小變化的快慢。

做圓周運動物體所受的向心力和向心加速度的關系同樣遵從牛頓第二定律：F_n=ma_n在列方程時，根據(jù)物體的受力分析，在方程左邊寫出外界給物體提供的合外力，右邊寫出物體需要的向心力(可選用等各種形式)。

如果沿半徑方向的合外力大于做圓周運動所需的向心力，物體將做向心運動，半徑將減�。蝗绻�沿半徑方向的合外力小于做圓周運動所需的向心力，物體將做離心運動，半徑將增大。