3．；4．

分析：式中所給函數(shù)是幾個(gè)因式積、商、冪、開方的關(guān)系．對(duì)于這種結(jié)構(gòu)形式的函數(shù)，可通過兩邊取對(duì)數(shù)后再求導(dǎo)，就可以使問題簡(jiǎn)單化或使無法求導(dǎo)的問題得以解決．但必須注意取尋數(shù)時(shí)需要滿足的條件是真數(shù)為正實(shí)數(shù)，否則將會(huì)出現(xiàn)運(yùn)算失誤．

解：1．取y的絕對(duì)值，得，兩邊取尋數(shù)，得

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，兩端對(duì)x求導(dǎo)，得

，

∴

1．；2．；

4．

說明：深刻理解，掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式的結(jié)構(gòu)規(guī)律，是解決問題的關(guān)鍵，解答本題所使用的知識(shí)，方法都是最基本的，但解法的構(gòu)思是靈魂，有了它才能運(yùn)用知識(shí)為解題服務(wù)，在求導(dǎo)過程中，學(xué)生易犯漏掉符合或混淆系數(shù)的錯(cuò)誤，使解題走入困境．

解題時(shí)，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸，才能抓住問題的本質(zhì)，把解題思路放開．

變形函數(shù)解析式求導(dǎo)

例　 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)；　　 (2)；

(3)；　　 (4)．

分析：先將函數(shù)適當(dāng)變形，化為更易于求導(dǎo)的形式，可減少計(jì)算量．

解：(1)

．

(2)，

(3)

(4)

當(dāng)時(shí)不存在．

說明：求(其中為多項(xiàng)式)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，若的次數(shù)不小于的次數(shù)，則由多項(xiàng)式除法可知，存在，使．從而，這里均為多項(xiàng)式，且的次數(shù)小于的次數(shù)．再求導(dǎo)可減少計(jì)算量．

對(duì)函數(shù)變形要注意定義域．如，則定義域變?yōu)?sub>，所以雖然的導(dǎo)數(shù)與的導(dǎo)數(shù)結(jié)果相同，但我們還是應(yīng)避免這種解法．

函數(shù)求導(dǎo)法則的綜合運(yùn)用

例 　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

3．解法一：設(shè)，則

解法二：

2．解法一：設(shè)，則

解法二：

3．；　 4．

分析：對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)求導(dǎo)，除了利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式之外，還需要考慮應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來進(jìn)行．求導(dǎo)過程中，可以先適當(dāng)進(jìn)行變形化簡(jiǎn)，將對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)位置轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的形式后再求導(dǎo)數(shù)．

解：1．解法一：可看成復(fù)合而成．

解法二：

解法三：，

1．；2．；

3．

說明：對(duì)于簡(jiǎn)單函數(shù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化函數(shù)關(guān)系式為可以直接應(yīng)用公式的基本函數(shù)的模式，以免求導(dǎo)過程中出現(xiàn)指數(shù)或系數(shù)的運(yùn)算失誤．運(yùn)算的準(zhǔn)確是數(shù)學(xué)能力高低的重要標(biāo)志，要從思想上提高認(rèn)識(shí)，養(yǎng)成思維嚴(yán)謹(jǐn)，步驟完整的解題習(xí)慣，要形成不僅會(huì)求，而且求對(duì)、求好的解題標(biāo)準(zhǔn)．

根據(jù)斜率求對(duì)應(yīng)曲線的切線方程

例　 求曲線的斜率等于4的切線方程．

分析：導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在某點(diǎn)處的變化率，它的幾何意義就是相應(yīng)曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，由于切線的斜率已知，只要確定切點(diǎn)的坐標(biāo)，先利用導(dǎo)數(shù)求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)切點(diǎn)在曲線上確定切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而可求出切線方程．

解：設(shè)切點(diǎn)為，則

，∴，即，∴

當(dāng)時(shí)，，故切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)．

∴所求切線方程為

即

說明：數(shù)學(xué)問題的解決，要充分考慮題設(shè)條件，捕捉隱含的各種因素，確定條件與結(jié)論的相應(yīng)關(guān)系，解答這類問題常見的錯(cuò)誤是忽略切點(diǎn)既在曲線上也在切線上這一關(guān)鍵條件，或受思維定勢(shì)的消極影響，先設(shè)出切線方程，再利用直線和拋物線相切的條件，使得解題的運(yùn)算量變大．

求直線方程

例　 求過曲線上點(diǎn)且與過這點(diǎn)的切線垂直的直線方程．

分析：要求與切線垂直的直線方程，關(guān)鍵是確定切線的斜率，從已知條件分析，求切線的斜率是可行的途徑，可先通過求導(dǎo)確定曲線在點(diǎn)P處切線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求出與切線垂直的直線方程．

解：，∴

曲線在點(diǎn)處的切線斜率是

∴過點(diǎn)P且與切線垂直的直線的斜率為，

∴所求的直線方程為，

即．

說明：已知曲線上某點(diǎn)的切線這一條件具有雙重含義．在確定與切線垂直的直線方程時(shí)，應(yīng)注意考察函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是否為零，當(dāng)時(shí)，切線平行于x軸，過切點(diǎn)P垂直于切線的直線斜率不存在．

求曲線方程的交點(diǎn)處切線的夾角

例 　設(shè)曲線和曲線在它們的交點(diǎn)處的兩切線的夾角為，求的值．

分析：要求兩切線的夾角，關(guān)鍵是確定在兩曲線交點(diǎn)處的切線的斜率．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，只需先求出兩曲線在交點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，再應(yīng)用兩直線夾角公式求出夾角即可．

解：聯(lián)立兩曲線方程解得兩曲線交點(diǎn)為(1，1)．

設(shè)兩曲線在交點(diǎn)處的切線斜率分別為，則

由兩直線夾角公式

說明：探求正確結(jié)論的過程需要靈巧的構(gòu)思和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉\(yùn)算．兩曲線交點(diǎn)是一個(gè)關(guān)鍵條件，函數(shù)在交點(diǎn)處是否要導(dǎo)也是一個(gè)不能忽視的問題，而準(zhǔn)確理解題設(shè)要求則是正確作出結(jié)論的前提．

求常函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

例　 設(shè)，則等于(　 )

　　 A．　 B．　 C．0　 D．以上都不是

分析：本題是對(duì)函數(shù)的求導(dǎo)問題，直接利用公式即可

解：因?yàn)?sub>是常數(shù)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，所以選C．

2．

1．；2．；3．．

分析：根據(jù)所給問題的特征，恰當(dāng)?shù)剡x擇求導(dǎo)公式，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)施行調(diào)整．函數(shù)和的形式，這樣，在形式上它們都滿足冪函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，可直接應(yīng)用冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)．

解：1．