5．平面向量的坐標表示

(1)平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內的任一向量可表示成，由于與數對(x,y)是一一對應的，因此把(x,y)叫做向量的坐標，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標。

規(guī)定：

(1)相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量；

(2)向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關系。

(2)平面向量的坐標運算：

①若，則；

②若，則；

③若=(x,y)，則=(x, y)；

④若，則。

4．平面向量的基本定理

如果是一個平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量，有且只有一對實數使：其中不共線的向量叫做表示這一平面內所有向量的一組基底。

3．兩個向量共線定理：

向量與非零向量共線有且只有一個實數，使得=。

2．向量的運算

(1)向量加法

求兩個向量和的運算叫做向量的加法。

設，則+==。

規(guī)定：

(1)；

(2)向量加法滿足交換律與結合律；

向量加法的“三角形法則”與“平行四邊形法則”

(1)用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量。

(2) 三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點。

當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則。

向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加： ，但這時必須“首尾相連”。

(2)向量的減法

①相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。

記作,零向量的相反向量仍是零向量。關于相反向量有：　 (i)=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=。

②向量減法

向量加上的相反向量叫做與的差，

記作：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法。

③作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量(、有共同起點)。

(3)實數與向量的積

①實數λ與向量的積是一個向量，記作λ，它的長度與方向規(guī)定如下：

(Ⅰ)；

(Ⅱ)當時，λ的方向與的方向相同；當時，λ的方向與的方向相反；當時，，方向是任意的。

②數乘向量滿足交換律、結合律與分配律。

1．向量的概念

①向量

既有大小又有方向的量。向量一般用……來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：幾何表示法，；坐標表示法。向量的大小即向量的模(長度)，記作||即向量的大小，記作｜|。

向量不能比較大小，但向量的�？梢员容^大小。

②零向量

長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量＝｜｜＝0。由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關向量平行(共線)的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條件。(注意與0的區(qū)別)

③單位向量

模為1個單位長度的向量，向量為單位向量｜｜＝1。

④平行向量(共線向量)

方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上，方向相同或相反的向量，稱為平行向量，記作∥。由于向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。

數學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的。

⑤相等向量

長度相等且方向相同的向量相等向量經過平移后總可以重合，記為。大小相等，方向相同。

本講內容屬于平面向量的基礎性內容，與平面向量的數量積比較出題量較小。以選擇題、填空題考察本章的基本概念和性質，重點考察向量的概念、向量的幾何表示、向量的加減法、實數與向量的積、兩個向量共線的充要條件、向量的坐標運算等。此類題難度不大，分值5~9分。

預測07年高考：

(1)題型可能為1道選擇題或1道填空題；

(2)出題的知識點可能為以平面圖形為載體表達平面向量、借助基向量表達交點位置或借助向量的坐標形式表達共線等問題。

(1)平面向量的實際背景及基本概念

通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示；

(2)向量的線性運算

①通過實例，掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義；

②通過實例，掌握向量數乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義；

③了解向量的線性運算性質及其幾何意義。

(3)平面向量的基本定理及坐標表示

①了解平面向量的基本定理及其意義；

②掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；

③會用坐標表示平面向量的加、減與數乘運算；

④ 理解用坐標表示的平面向量共線的條件。

40. I didn't know his telephone number, otherwise I ______ him.

A. had telephoned　　　　　 B. would telephone　　　　 C. would have telephoned　　　 D. telephone

語法復習十：動詞的語氣--虛擬語氣

1~5 BADAB　 6~10 CDABC　 11~15 CCDDB　 16~20 ADAAC　 21~25 DCDAD

26~30 BDDAA　 31~35 DABBD　 36~40 DABDC

39. It is important that we ________.

　　 A. shall close the window before we leave　　　　　 B. will close the window before we leave

　　 C. must close the window before we leave　　　　　 D. close the window before we leave

38. His tired face suggested that he ________ really tired after the long walk.

　　 A. had been　　　　 　　 B. was　　　　　　　　　 C. be　　　　　　 D. should be