類(lèi)型Ⅴ：設(shè)二次函數(shù)ƒ(x)=ax²+bx+c(a>0)方程ƒ(x)－x=0的兩個(gè)根x₁，x₂滿(mǎn)足0<x₁<x₂<。

(Ⅰ)當(dāng)X∈(0,x₁)時(shí)，證明X<ƒ(x)<x₁。

(Ⅱ)設(shè)函數(shù)ƒ(x)的圖象關(guān)于直線x=x₀對(duì)稱(chēng)，證明x₀< 。

解題思路：

本題要證明的是x<ƒ(x)，ƒ(x)<x₁和x₀< 　，由題中所提供的信息可以聯(lián)想到：①ƒ(x)=x，說(shuō)明拋物線與直線y=x在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；②方程ƒ(x)－x=0可變?yōu)閍x²+(b－1)x+1=0，它的兩根為x₁,x₂，可得到x₁,x₂與a.b.c之間的關(guān)系式，因此解題思路明顯有三條①圖象法②利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系③利用一元二次方程的求根公式，輔之以不等式的推導(dǎo)。現(xiàn)以思路②為例解決這道題：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅰ)先證明x<ƒ(x)，令ƒ(x)=ƒ(x)-x，因?yàn)閤₁,x₂是方程ƒ(x)-x=0的根，ƒ(x)=ax²+bx+c，所以能ƒ(x)=a(x－x₁)(x－x₂)

因?yàn)?<x₁<x₂,所以,當(dāng)x∈(0,x₁)時(shí), x－x₁<0, x－x₂<0得(x－x₁)(x－x₂)>0,又a＞0,因此ƒ(x) ＞0,即ƒ(x)-x＞0.至此,證得x<ƒ(x)

根據(jù)韋達(dá)定理,有　 x₁x₂=　　∵ 0＜x₁＜x₂<，c=ax₁x₂<x=ƒ(x₁),　　　 又c=ƒ(0),∴ƒ(0)<ƒ(x₁), 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線y=ƒ(x)是開(kāi)口向上的拋物線，因此，函數(shù)y=ƒ(x)在閉區(qū)間[0，x₁]上的最大值在邊界點(diǎn)x=0或x=x₁處達(dá)到，而且不可能在區(qū)間的內(nèi)部達(dá)到，由于ƒ(x₁)>ƒ(0)，所以當(dāng)x∈(0,x₁)時(shí)ƒ(x)<ƒ(x₁)=x_1，

即x<ƒ(x)<x₁

函數(shù)ƒ(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=－ ,且是唯一的一條對(duì)稱(chēng)軸，因此，依題意，得x₀=－，因?yàn)閤₁,x₂是二次方程ax²+(b－1)x+c=0的根，根據(jù)違達(dá)定理得，x₁+x₂=－，∵x₂－<0，

∴x₀=－=(x₁+x₂－)<,即x₀=。

二次函數(shù)，它有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的冪函數(shù)，可以以它為代表來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問(wèn)題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

二次函數(shù)的內(nèi)容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也多關(guān)注這方面知識(shí)，使我們對(duì)它的研究更深入�！�

在高中階階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時(shí)，必須讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)y=ax²+bx+c在區(qū)間(－∞，－]及[－，+∞) 上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時(shí)，進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺(jué)地利用圖象學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。

類(lèi)型Ⅲ：畫(huà)出下列函數(shù)的圖象，并通過(guò)圖象研究其單調(diào)性。

(1)y=x²+2|x－1|－1 (2)y=|x²－1| (3)= x²+2|x|－1

這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對(duì)值記號(hào)的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫(huà)出其圖象。

類(lèi)型Ⅳ設(shè)ƒ(x)=x²－2x－1在區(qū)間[t,t+1]上的最小值是g(t)。

求：g(t)并畫(huà)出 y=g(t)的圖象

解：ƒ(x)=x²－2x－1=(x－1)²－2，在x=1時(shí)取最小值－2

當(dāng)1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2

當(dāng)t＞1時(shí)，g(t)=ƒ(t)=t²－2t－1

當(dāng)t＜0時(shí)，g(t)=ƒ(t+1)=t²－2

　　　　 　　t²－2, (t<0)

　 g(t)= 　-2，(0≤t≤1)

　　　　　 t²－2t－1, (t>1)

首先要使學(xué)生弄清楚題意，一般地，一個(gè)二次函數(shù)在實(shí)數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時(shí)，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識(shí)，可以再給學(xué)生補(bǔ)充一些練習(xí)。

如：y=3x²－5x+6(-3≤x≤－1)，求該函數(shù)的值域。

初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進(jìn)入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點(diǎn)來(lái)闡明函數(shù)，這時(shí)就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來(lái)加以更深認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個(gè)集合A(定義域)到集合B(值域)上的映射ƒ:A→B，使得集合B中的元素y=ax²+bx+c(a≠0)與集合A的元素X對(duì)應(yīng)，記為ƒ(x)= ax²+ bx+c(a≠0)這里ax²+bx+c表示對(duì)應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí)，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號(hào)后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問(wèn)題：

類(lèi)型I：已知ƒ(x)= 2x²+x+2，求ƒ(x+1)

這里不能把ƒ(x+1)理解為x=x+1時(shí)的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。

類(lèi)型Ⅱ：設(shè)ƒ(x+1)=x²－4x+1,求ƒ(x)

這個(gè)問(wèn)題理解為，已知對(duì)應(yīng)法則ƒ下，定義域中的元素x+1的象是x²－4x+1，求定義域中元素X的象，其本質(zhì)是求對(duì)應(yīng)法則。

一般有兩種方法：

(1)把所給表達(dá)式表示成x+1的多項(xiàng)式。

ƒ(x+1)=x²－4x+1=(x+1)²－6(x+1)+6，再用x代x+1得ƒ(x)=x²－6x+6

(2) 變量代換：它的適應(yīng)性強(qiáng)，對(duì)一般函數(shù)都可適用。

　　 令t=x+1，則x=t-1　 ∴(t)=(t-1)²－4(t-1)+1=t²－6t+6從而ƒ(x)= x²－6x+6

25.The thief broke in，trying to open the safe but　　　 .

　 A.in vain　　　　　　　　 B.in no way　　　　　　 C.on no condition　　　 D.on purpose

　 答案　 A

24.This study shows that　　　　 languages may differ，the order in which young kids learn the parts of speech appears to be the same across different languages.

　 A.since　　　　　　　　　 B.so　　　　　　　　　　 C.while　　　　　　　　 D.but

　 答案　 C

23.Having lived in the town for quite a few years，Mr. Johnson no longer felt　　　 among the

　 local people.

　 A.out of order　　　　　 B.out of place　　　　　 C.out of control　　　　 D.out of the question

　 答案　 B

22.Dress warmly，　　　 you’ll catch a cold.

　 A.on the contrary　　　　 B.or rather　　　　　　 C.or else　　　　　　　 D.in no way

　 答案　 C

21.There is such a problem　　　 we all should　　　 .

　 A.as;pay attention to it　　　　　　　　　　　　 B.that;attract our attention

　 C.as;pay attention to　　　　　　　　　　　　　　 D.that;attract our attention to it

　 答案　 C

20.-Susan’s head ached　　　　 staring at the screen for over ten hours.

　 -Over ten hours!That’s really　　　 what I can imagine!

　 A.of;above　　　　　　　 B.in;over　　　　　　　 C.through;among　　　　 D.from;beyond

　 答案　 D

19.You can’t attend the party tonight because it is stormy.　　　　 ，you still haven’t got over your high fever.

　 A.Therefore　　　　　　　 B.However　　　　　　　 C.Moreover　　　　　　　 D.Thus

　 答案　 C