Question

【題目】（1）如圖1，已知正方形ABCD，E是AD上一點(diǎn)，F是BC上一點(diǎn)，G是AB上一點(diǎn)，H是CD上一點(diǎn)，線段EF、GH交于點(diǎn)O，∠EOH=∠C，求證：EF=GH；

（2）如圖2，若將“正方形ABCD”改為“菱形ABCD”，其他條件不變，探索線段EF與線段GH的關(guān)系并加以證明；

（3）如圖3，若將“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且AD=mAB，其他條件不變，探索線段EF與線段GH的關(guān)系并加以證明；

附加題：根據(jù)前面的探究，你能否將本題推廣到一般的平行四邊形情況？若能，寫(xiě)出推廣命題，畫(huà)出圖形，并證明，若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）EF=GH；證明見(jiàn)解析；（3）；證明見(jiàn)解析；

附加題：能；證明見(jiàn)解析；

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于M，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥CD于N，易證△GNH≌△FME，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）EF=GH，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于M，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥CD于N，設(shè)EF、GN交于R、GN、MF交于Q，證明△GNH≌△FME，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于M，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥CD于N，設(shè)EF、GN交于R、GN、MF交于Q，證明△GNH∽△FME，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論；附加題：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于M，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥CD于N，設(shè)EF、GN交于R、GN、MF交于Q，證明△GNH∽△FME，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及（3）的結(jié)論即可求解.

（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于M，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥CD于N，

則FM=GN=AD=BC，且GN⊥FM，設(shè)它們的垂足為Q，設(shè)EF、GN交于R

∵∠GOF=∠A=90°，

∴∠OGR=90°﹣∠GRO=90°﹣∠QRF=∠OFM．

∵∠GNH=∠FME=90°，F(xiàn)M=GN，

∴△GNH≌△FME．

∴EF=GH．

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于M，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥CD于N，設(shè)EF、GN交于R、GN、MF交于Q，

在四邊形MQND中，∠QMD=∠QND=90°

∴∠ADC+∠MQN=180°．

∴∠MQN=∠A=∠GOF．

∵∠ORG=∠QRF，

∴∠HGN=∠EFM．

∵∠A=∠C，AB=BC，

∴FM=ABsinA=BCsinC=GN．

∵∠FEM=∠GNH=90°，

∴△GNH≌△FME．

∴EF=GH．

（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于M，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥CD于N，設(shè)EF、GN交于R、GN、MF交于Q，

∵∠GOF=∠A=90°，

∴∠OGR=90°﹣∠GRO=90°﹣∠QRF=∠OFM．

∵∠GNH=∠FME=90°，

∴△GNH∽△FME．

∴．

∵GN=AD，F(xiàn)M=AB,AD=mAB，

∴.

附加題：

已知平行四邊形ABCD，E是AD上一點(diǎn)，F是BC上一點(diǎn)，G是AB上一點(diǎn)，H是CD上一點(diǎn)，線段EF、GH交于點(diǎn)O，∠EOH=∠C，AD=mAB，則GH=mEF．

證明：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于M，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥CD于N，設(shè)EF、GN交于R、GN、MF交于Q，

在四邊形MQND中，∠QMD=∠QND=90°，

∴∠MDN+∠MQN=180°．

∴∠MQN=∠A=∠GOF．

∵∠ORG=∠QRF，

∴∠HGN=∠EFM．

∵∠FME=∠GNH=90°，

∴△GNH∽△FME．

∴=m．

即GH=mEF．