【題目】(1)如圖1,已知正方形ABCD,E是AD上一點,F是BC上一點,G是AB上一點,H是CD上一點,線段EF、GH交于點O,∠EOH=∠C,求證:EF=GH;
(2)如圖2,若將“正方形ABCD”改為“菱形ABCD”,其他條件不變,探索線段EF與線段GH的關(guān)系并加以證明;
(3)如圖3,若將“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”,且AD=mAB,其他條件不變,探索線段EF與線段GH的關(guān)系并加以證明;
附加題:根據(jù)前面的探究,你能否將本題推廣到一般的平行四邊形情況?若能,寫出推廣命題,畫出圖形,并證明,若不能,說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)EF=GH;證明見解析;(3);證明見解析;
附加題:能;證明見解析;
【解析】
(1)過點F作FM⊥AD于M,過點G作GN⊥CD于N,易證△GNH≌△FME,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論;(2)EF=GH,過點F作FM⊥AD于M,過點G作GN⊥CD于N,設(shè)EF、GN交于R、GN、MF交于Q,證明△GNH≌△FME,,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論;(3)過點F作FM⊥AD于M,過點G作GN⊥CD于N,設(shè)EF、GN交于R、GN、MF交于Q,證明△GNH∽△FME,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論;附加題:如圖,過點F作FM⊥AD于M,過點G作GN⊥CD于N,設(shè)EF、GN交于R、GN、MF交于Q,證明△GNH∽△FME,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及(3)的結(jié)論即可求解.
(1)如圖1,過點F作FM⊥AD于M,過點G作GN⊥CD于N,
則FM=GN=AD=BC,且GN⊥FM,設(shè)它們的垂足為Q,設(shè)EF、GN交于R
∵∠GOF=∠A=90°,
∴∠OGR=90°﹣∠GRO=90°﹣∠QRF=∠OFM.
∵∠GNH=∠FME=90°,F(xiàn)M=GN,
∴△GNH≌△FME.
∴EF=GH.
(2)如圖2,過點F作FM⊥AD于M,過點G作GN⊥CD于N,設(shè)EF、GN交于R、GN、MF交于Q,
在四邊形MQND中,∠QMD=∠QND=90°
∴∠ADC+∠MQN=180°.
∴∠MQN=∠A=∠GOF.
∵∠ORG=∠QRF,
∴∠HGN=∠EFM.
∵∠A=∠C,AB=BC,
∴FM=ABsinA=BCsinC=GN.
∵∠FEM=∠GNH=90°,
∴△GNH≌△FME.
∴EF=GH.
(3)如圖3,過點F作FM⊥AD于M,過點G作GN⊥CD于N,設(shè)EF、GN交于R、GN、MF交于Q,
∵∠GOF=∠A=90°,
∴∠OGR=90°﹣∠GRO=90°﹣∠QRF=∠OFM.
∵∠GNH=∠FME=90°,
∴△GNH∽△FME.
∴.
∵GN=AD,F(xiàn)M=AB,AD=mAB,
∴.
附加題:
已知平行四邊形ABCD,E是AD上一點,F是BC上一點,G是AB上一點,H是CD上一點,線段EF、GH交于點O,∠EOH=∠C,AD=mAB,則GH=mEF.
證明:如圖,過點F作FM⊥AD于M,過點G作GN⊥CD于N,設(shè)EF、GN交于R、GN、MF交于Q,
在四邊形MQND中,∠QMD=∠QND=90°,
∴∠MDN+∠MQN=180°.
∴∠MQN=∠A=∠GOF.
∵∠ORG=∠QRF,
∴∠HGN=∠EFM.
∵∠FME=∠GNH=90°,
∴△GNH∽△FME.
∴=m.
即GH=mEF.
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【題目】一個矩形ABCD的較短邊長為2.
(1)如圖①,若沿長邊對折后得到的矩形與原矩形相似,求它的另一邊長;
(2)如圖②,已知矩形ABCD的另一邊長為4,剪去一個矩形ABEF后,余下的矩形EFDC與原矩形相似,求余下矩形EFDC的面積.
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【題目】“國家實行計劃用水,厲行節(jié)約用水”“水是生命之源”;水資源緊缺形勢嚴峻,保護水資源刻不容緩。為鼓勵市民節(jié)約用水,某市自來水公司對單位和個人分別采取一定措施按用水量分段計水價收費,該市自來水公司針對單位用水規(guī)定用水計劃:每月單位計劃用水標(biāo)準為3000噸,計劃內(nèi)用水每噸收費0.5元,超計劃部分每噸按0.8元收費.
(1)寫出單位水費y(元)與每月用水量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式:
①用水量小于等于3000噸時,_______________________________;
②用水量大于3000噸時,___________________________.
(2)九月份甲單位用水3200噸,水費是_____________元;乙單位用水2800噸電,水費_______元.
(3)若十月份乙單位繳納水費1540元,則該單位用水多少噸?
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【題目】如圖,△ABC為等腰直角三角形,△ABD為等邊三角形,連接CD
(1)求∠ACD的度數(shù)
(2)作∠BAC的角平分線交CD于點E,求證:DE=AE+CE
(3)在(2)的條件下,P為圖形外一點,滿足∠CPB=60°,求證:EP平分∠CPB.
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【題目】如果一個分式的分子或分母可以因式分解,且這個分式不可約分,那么我們稱這個分式為“和諧分式”.
(1)下列分式:①;②;③;④.其中是“和諧分式”的是 (填寫序號即可);
(2)若a為正整數(shù),且為“和諧分式”,請寫出a的值 ;
(3)在分式運算中,我們也會用到判斷和諧分式時所需要的知識,請你用所學(xué)知識,化簡
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【題目】已知與是兩個大小不同的等腰直角三角形.
如圖①所示,連接,,試判斷線段和的數(shù)量和位置關(guān)系,并說明理由;
如圖②所示,連接,將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)到,連接,試判斷線段和的數(shù)量和位置關(guān)系,并說明理由.
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【題目】如圖,已知△,按以下步驟作圖:①分別以、為圓心,大于的長為半徑畫弧,兩弧交于點、;②作直線交于點,連接,若,則下列結(jié)論中不一定成立的是( )
A.B.△是等邊三角形
C.點D是AB的中點D.
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【題目】如圖,已知BC=EC,∠BCE=∠ACD,如果只添加一個條件,使△ABC ≌ △DEC,則添加的條件不能為( )
A. ∠B=∠E B. AC=DC C. ∠A=∠D D. AB=DE
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【題目】周末,王雪帶領(lǐng)小朋友玩摸球游戲:在不透明塑料袋里裝有1個白色和2個黃色的乒乓球,摸出兩個球都是黃色的獲勝.小明一次從袋里摸出兩個球;小剛左手從袋里摸出一個球,然后右手摸出一個球;小華則先從袋里摸出一個球看一下顏色,又放回袋里,再從袋里摸出一個球.這時,小明急了,說:小剛、小華占了便宜,不公平.你認為如何( ).
A. 不公平,小剛、小華占便宜了 B. 公平 C. 不公平,小華吃虧了 D. 不公平,小華占便宜了
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