【題目】已知,如圖,AB是的直徑,C是上一點(diǎn),連接AC,過(guò)點(diǎn)C作直線于D(),點(diǎn)E是DB上任意一點(diǎn)(點(diǎn)D、B除外),直線CE交于點(diǎn)F.連接AF與直線CD交于點(diǎn)G.
(1)求證:
(2)若點(diǎn)E是AD(點(diǎn)A除外)上任意一點(diǎn),上述結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)畫(huà)出圖形并給予證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由。
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)成立,證明見(jiàn)解析.
【解析】
(1)欲證AC2=AGAF,即證AC:AG=AF:AC,可以通過(guò)證明△AGC∽△ACF得到;
(2)分清E點(diǎn)在AD上有兩種情況,然后逐一證明.
(1)證明:連接CB,
∵AB是直徑,CD⊥AB,
∴∠ACB=∠ADC=90°,又∠CAD=∠BAC,
∴△CAD∽△BAC,
∴∠ACD=∠ABC,
∵∠ABC=∠AFC,
∴∠ACD=∠AFC,∠CAG=∠FAC,
∴△ACG∽△AFC,
∴,
∴AC2=AGAF;
(2)當(dāng)點(diǎn)E是AD(點(diǎn)A除外)上任意一點(diǎn),上述結(jié)論仍成立
①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí),F與G重合,如圖所示:
有AG=AF,∵CD⊥AB,
∴ ,AC=AF,
∴AC2=AGAF;
②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D不重合時(shí)(不含點(diǎn)A)時(shí),如圖所示:
證明類似(1).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:線段MN=a.
(1)求作:邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC.(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法但保留作圖痕跡)
(2)若a=10cm.求(1)中正三角形ABC的內(nèi)切圓的半徑.
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【題目】若二次函數(shù)y=x2﹣2x+k的部分圖象如圖所示,則關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0的解一個(gè)為x1=3,則方程x2﹣2x+k=0另一個(gè)解x2=_____.
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【題目】如圖乙,和是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形,,點(diǎn)P為射線BD,CE的交點(diǎn).
如圖甲,將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),當(dāng)C、D、E在同一條直線上時(shí),連接BD、BE,則下列給出的四個(gè)結(jié)論中,其中正確的是______.
若,,把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),
當(dāng)時(shí),求PB的長(zhǎng);
求旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段PB長(zhǎng)的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一艘輪船在A處測(cè)得燈塔P在船的北偏東30°方向,輪船沿著北偏東60°方向航行16km后到達(dá)B處,這時(shí)燈塔P在船的北偏西75°方向.則燈塔P與B之間的距離等于___________km(結(jié)果保留根號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖甲,,,,垂足分別為,且三個(gè)垂足在同一直線上.
(1)證明:;
(2)已知地物線與軸交于點(diǎn),頂點(diǎn)為,如圖乙所示,若是拋物線上異于的點(diǎn),使得,求點(diǎn)坐標(biāo)(提示:可結(jié)合第(1)小題的思路解答)
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【題目】山西省第十五屆運(yùn)動(dòng)會(huì)乒乓球比賽于2018年8月13日上午在山西省體育博物館的比賽場(chǎng)館內(nèi)正式拉開(kāi)了帷幕.第十五屆運(yùn)動(dòng)會(huì)競(jìng)技體育組乒乓球項(xiàng)目產(chǎn)生的決賽運(yùn)動(dòng)員名單中太原市共27人,其中甲組有甲、乙、丙、丁四名女子運(yùn)動(dòng)員,若進(jìn)行一次乒乓球單打比賽,要通過(guò)抽簽從中選出兩名運(yùn)動(dòng)員打第一場(chǎng)比賽.
(1)若已確定甲打第一場(chǎng),再?gòu)钠溆嗳\(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選取一位,求恰好選中乙的概率;
(2)若兩名運(yùn)動(dòng)員都不確定,請(qǐng)用樹(shù)狀圖法或列表法,求恰好選中甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的概率.
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【題目】兩條拋物線與的兩個(gè)交點(diǎn)、都在軸上,拋物線的頂點(diǎn)為.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在軸正半軸上有一點(diǎn),當(dāng)時(shí),求的面積;
(3)判斷在軸上是否存在點(diǎn),使點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到點(diǎn)恰好落在拋物線上?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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【題目】綜合與實(shí)踐:
操作與發(fā)現(xiàn):
如圖,已知A,B兩點(diǎn)在直線CD的同一側(cè),線段AE,BF均是直線CD的垂線段,且BF在AE的右邊,AE=2BF,將BF沿直線CD向右平移,在平移過(guò)程中,始終保持∠ABP=90°不變,BP邊與直線CD相交于點(diǎn)P,點(diǎn)G是AE的中點(diǎn),連接BG.
探索與證明:求證:
(1)四邊形EFBG是矩形;
(2)△ABG∽△PBF.
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