Question

【題目】如圖，拋物線y＝a（x+2）（x﹣4）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且∠ACO＝∠CBO．

（1）求線段OC的長(zhǎng)度；

（2）若點(diǎn)D在第四象限的拋物線上，連接BD、CD，求△BCD的面積的最大值；

（3）若點(diǎn)P在平面內(nèi)，當(dāng)以點(diǎn)A、C、B、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）2；（3）(2，2)，(6，﹣2)或(﹣6，﹣2)

【解析】

（1）由拋物線的解析式先求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再證△AOC∽△COB，利用相似三角形的性質(zhì)可求出CO的長(zhǎng)；

（2）先求出拋物線的解析式，再設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)（m，m2﹣m﹣2），用含m的代數(shù)式表示出△BCD的面積，利用函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值；

（3）分類討論，分三種情況由平移規(guī)律可輕松求出點(diǎn)P的三個(gè)坐標(biāo)．

（1）在拋物線y＝a（x+2）（x﹣4）中，

當(dāng)y＝0時(shí)，x1＝﹣2，x2＝4，

∴A（﹣2，0），B（4，0），

∴AO＝2，BO＝4，

∵∠ACO＝∠CBO，∠AOC＝∠COB＝90°，

∴△AOC∽△COB，

∴，即，

∴CO＝2；

（2）由（1）知，CO＝2，

∴C（0，﹣2）

將C（0，﹣2）代入y＝a（x+2）（x﹣4），

得，a＝，

∴拋物線解析式為：y＝x2﹣x﹣2，

如圖1，連接OD，

設(shè)D（m，m2﹣m﹣2），

則S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△BOC

＝×2m+×4（﹣m2+m+2）﹣×4×2

＝﹣m2+2m

＝﹣（m﹣2）2+2，

根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，當(dāng)m＝2時(shí)，△BCD的面積有最大值2；

（3）如圖2﹣1，當(dāng)四邊形ACBP為平行四邊形時(shí)，由平移規(guī)律可知，點(diǎn)C向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B，所以點(diǎn)A向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)P，因?yàn)?/span>A（﹣2，0），所以P1（2，2）；

同理，在圖2﹣2，圖2﹣3中，可由平移規(guī)律可得P2（6，﹣2），P3（﹣6，﹣2）；

綜上所述，當(dāng)以點(diǎn)A、C、B、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2），（6，﹣2），P3（﹣6，﹣2）．