Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：對于圖形G及圖形G外一點(diǎn)P，若圖形G上存在一點(diǎn)M，滿足PM=2，且使點(diǎn)P繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的對應(yīng)點(diǎn)P’在這個(gè)圖形G上，則稱點(diǎn)P為圖形G的“2旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”．

已知點(diǎn)A（－1，0），B（－1，2），C（2，-2），D（0，3），E（2，2），F（3，0）

（1）①判斷：點(diǎn)B________線段AF的“2旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”（填“是”或“不是”）；

②點(diǎn)C，D，E中，是線段AF的“2旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”的有_________；

（2）已知直線，若直線l上存在線段AF的“2旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”，求b的取值范圍；

（3）⊙T是以點(diǎn)T（t，0）為圓心，為半徑的一個(gè)圓，已知在線段AD上存在這個(gè)圓的“2旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”， 直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①是；②C；D；（2）－5≤b≤－3和1≤b≤3；（3）--1≤t≤-1．

【解析】

（1）①根據(jù)“2旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”的定義進(jìn)行判斷即可；

②同理，根據(jù)“2旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”的定義進(jìn)行判斷即可；

（2）如圖3，分別計(jì)算兩個(gè)分界點(diǎn)時(shí)兩直線中的b值，一條直線經(jīng)過點(diǎn)B，另一條直線經(jīng)過點(diǎn)L，可得結(jié)論；

（3）首先找到⊙T的“2旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”，所在的軌跡，并由軌跡和線段AD有交點(diǎn)時(shí)的兩個(gè)邊界情況，即可得到t的范圍.

（1）①如圖1，連接AB，

∵A（-1，0），B（-1，2），

∴AB⊥x軸，

∴∠BAF=90°，

滿足點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到對應(yīng)點(diǎn)B′，且B'在線段AF上，則稱點(diǎn)B為線段AF的“2旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”；

故答案為：是；

②如圖2，連接EC交x軸于點(diǎn)M，

∵C（2，-2），E（2，2），

∴CE⊥x軸，

由題意得：點(diǎn)D（0，3）到線段AF的最短距離為3＞2，則稱點(diǎn)D不是線段AF的“2旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”，

同理得：點(diǎn)C（2，-2）且M（2,0）繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到對應(yīng)點(diǎn)O，且O在線段AF上，則稱點(diǎn)C為線段AF的“2旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”，

點(diǎn)E（2，2）繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到對應(yīng)點(diǎn)E′，但E'不在線段AF上，所以點(diǎn)E不是線段AF的“2旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”；

故答案為：C；

（2）如圖3，過B作直線l：y=x+b，

把B（-1，2）代入得：2=-1+b，b=3，

在x軸上，F的左邊取一點(diǎn)H，使FH=2，過H作HK⊥x軸，使KH=2，過K作KL∥l，交y軸于L，

∴K（1，2），

設(shè)直線KL的解析式為：y=x+b1，

把K（1，2）代入得：2=1+b1，b1=1，

∴若線段l上存在線段AF的“2旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”，則b的取值范圍是：1≤b≤3；

同理，線段AF的“2旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”，位于兩條線段上的端點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1，－2）和（3，－2）時(shí)，可得b的取值范圍是：－5≤b≤－3；

故B的取值范圍為：－5≤b≤－3和1≤b≤3；

（3）t的取值范圍：≤ t ≤．

理由：⊙T的“2旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”，位于半徑為的同心圓上，

如圖，當(dāng)點(diǎn)T位于點(diǎn)A右側(cè)，且“2旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”所在圓與AD相切時(shí)，切點(diǎn)為M，

＝＝＝，∴＝，∴AT＝，∴ t＝

當(dāng)點(diǎn)T位于點(diǎn)A左側(cè)，且“2旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”所在圓經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，t＝

∴≤ t ≤